Площадь арки циклоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Циклоида

Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.

Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0≤x≤2π.

Рассмотрим арки циклоиды при 0≤t≤2π.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

t2 — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x=R(t-sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y=R(1-cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

Sцикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.

[править] Формула

[math]S_\text{арк.цикл.}=R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right),[/math] [math]0 \le t_1 \le t_2 \le 2\pi[/math]
  • Площадь полной (от 0 до ) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, Sарк.цикл=3πR2.

[править] Вывод формулы

[math]S_\text{арк.цикл.}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R(1-\cos t)[R(t - \sin t)]_t^{'}dt = \int\limits_{t_1}^{t_2}R^2(1-\cos t)^2dt =[/math]
[math]= R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(1-2\cos t + \cos^2t)dt = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(1-2\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2}\right)dt =[/math]
[math]= R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(\frac{3}{2}-2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t\right)dt = \left.R^2\left(\frac{3}{2}-2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t\right)\right|_{t_1}^{t_2} =[/math]
[math]=R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right)[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты