Площадь круга

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Круг
Площадь круга через интеграл // Valery Volkov [16:29]

Площадь круга — это действительное число, характеризующее круг в единицах измерения площади.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус;

D — диаметр;

Sкруг — площадь круга.

[править] Формула

[math]S_\text{круг}=\pi R^2 \Leftrightarrow S_\text{круг}=\frac{1}{4}\pi D^2, \ D=2R[/math]

[править] Вывод формулы

[править] 1-й способ

[math]S_\text{круг}=\iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2}1dxdy=\int\limits_{-R}^Rdx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^\sqrt{R^2-x^2}1dy=\int\limits_{-R}^R\left.y\right|_{-\sqrt{R^2-x^2}}^\sqrt{R^2-x^2}dx=2\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}dx=[/math]
[math]=4\int\limits_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx=2\left.\left(x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac{x}{R}\right)\right|_0^R=[/math]
[math]2\left(R\sqrt{R^2-R^2}+R^2\arcsin\frac{R}{R}\right)=2R^2\arcsin1=\pi R^2 \Rightarrow S_\text{круг}=\pi R^2[/math]

[править] 2-й способ

[math]S_\text{круг}=\iint\limits_{r \le R} rdrd\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{R}rdr=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}\left.r^2\right|_0^Rd\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}R^2d\varphi=\frac{1}{2}R^2\int\limits_{0}^{2\pi}1d\varphi=[/math]
[math]=\left.\frac{1}{2}R^2\varphi\right|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}R^2\cdot 2\pi=\pi R^2 \Rightarrow S_\text{круг}=\pi R^2[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты