Площадь сегмента правильного n-угольника

Формулы

Площадь сегмента правильного n-угольника — это число, характеризующее сегмент описанной окружности правильного n-угольника в единицах измерения площади.

Сегмент правильного n-угольника — это меньший сегмент описанной окружности (построенный на стороне) правильного n-угольника.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/n;

φ — ценральный угол сегмента между радиусами в крайних точках сегмента, φ=2α;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S_сект.n — площадь сектора описанной окружности правильного n-угольника;

S_сегм.n — площадь сегмента описанной окружности правильного n-угольника.

Формулы

$S_{\text{сегм.n}}={\frac {a^{2}}{4\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\left({\frac {\pi }{n}}-\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\right)\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}={\frac {a^{2}}{4\sin ^{2}{\text{α}}}}\left({\text{α}}-\sin {\text{α}}\cos {\text{α}}\right)\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}={\frac {a^{2}\left({\text{φ}}-\sin {\text{φ}}\right)}{8\sin ^{2}{\frac {\text{φ}}{2}}}}\Leftrightarrow$

$S_{\text{сегм.n}}=R^{2}\left({\frac {\pi }{n}}-\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\right),\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}=R^{2}\left({\text{α}}-\sin {\text{α}}\cos {\text{α}}\right),\ R={\frac {a}{2\sin {\text{α}}}}\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}=R^{2}{\frac {{\text{φ}}-\sin {\text{φ}}}{2}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\text{φ}}{2}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}=S_{\text{сект.n}}-S_{\triangle },\ S_{\text{сект.n}}=R^{2}{\frac {\pi }{n}},\ S_{\triangle }=R^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}=S_{\text{сект.n}}-S_{\triangle },\ S_{\text{сект.n}}=R^{2}{\text{α}},\ S_{\triangle }=R^{2}\sin {\text{α}}\cos {\text{α}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{сегм.n}}=S_{\text{сект.n}}-S_{\triangle },\ S_{\text{сект.n}}=R^{2}{\frac {\text{φ}}{2}},\ S_{\triangle }=R^{2}{\frac {\sin {\text{φ}}}{2}}$

Другие формулы

1. треугольник;
2. четырёхугольник;
3. круг;
4. сегмент круга;
5. сектор круга;
6. серп;
7. эллипс;
8. сегмент эллипса;
9. сектор эллипса;
10. серп эллипса;
11. сегмент параболы;
12. сегмент гиперболы;
13. сектор кардиоиды;
14. сектор лемнискаты Бернулли;
15. правильный многоугольник;
16. сегмент правильного многоугольника;
17. сектор правильного многоугольника;
18. арка циклоиды;
19. сектор кардиоиды;
20. сектор лемнискаты Бернулли.
21. арка синусоиды;
22. арка косинусоиды;
23. фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
24. фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
25. треугольник Рёло;
26. пятиугольник Рёло;
27. многоугольник Рёло;
28. общая плоская фигура.