Площадь четырёхугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Площади четырехугольников. Геометрия 7-9 классы. Урок 34 // MathTutor [19:24]

Площадь четырёхугольника — это действительное число, характеризующее четырёхугольник в единицах измерения площади.

Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, то есть такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости и для любых его (четырёхугольника) двух точек все точки отрезка принадлежат четырёхугольнику.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — первая сторона;

b — вторая сторона;

c — третья сторона;

d — четвёртая сторона;

α — угол между сторонами a и b;

β — угол между сторонами b и c;

γ — угол между сторонами c и d;

η — угол между сторонами a и d;

d1 — диагональ, соединяющая вершины углов α и γ;

d2 — диагональ, соединяющая вершины углов β и η;

l1 — средняя линия, соединяющая середины сторон a и c;

l2 — средняя линия, соединяющая середины сторон b и d;

φ — угол (острый) между диагоналями;

ψ — угол (острый) между средними линиями;

p — полупериметр четырёхугольника;

SΔ — площадь треугольника;

Sчетыр — площадь четырёхугольника.

[править] Формулы

ПЧЕ00.JPG

[править] Формулы в векторной и координатной форме

Введём обозначения:

[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]\bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]\bar r_3=(x_3,y_3,z_3)[/math] — радиус-вектор третьей точки;

[math]\bar r_4=(x_4,y_4,z_4)[/math] — радиус-вектор четвёртой точки;

[math]\bar n=(A,B,C)[/math] — нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;

SΔ — площадь треугольника, построенного по трём заданным точкам;

Sчетыр — площадь четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.

ПЧЕ01.JPG

где

ПЧЕ02.JPG

[править] Формула Брахмагупты

Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин 1, 2, 3, 4. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты.

Введём обозначения:

a — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и второй точками;

b — длина стороны четырёхугольника, расположенной между второй и третьей точками;

c — длина стороны четырёхугольника, расположенной между третьей и четвёртой точками;

d — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и четвёртой точками;

p — полупериметр четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.

ПЧЕ03.JPG

где

ПЧЕ04.JPG

  • Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу Герона для площади треугольника.
  • Когда четырёхугольник является прямоугольником и a≠b, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади прямоугольника, Sпрямоуг=ab, где c=a, d=b, p=a+b.
  • Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и b=d, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади трапеции, Sравн.трап=h(a+c)/2, где h2=(p-a)(p-c), p-b=(a+c)/2.

Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.

[править] Другие многоугольники

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.167.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты