Площадь квадрата

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
48 Площадь квадрата // Видео уроки ОНЛАЙН [5:18]

Площадь квадрата — это число, характеризующее квадрат в единицах измерения площади.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=4;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/4;

P4 — периметр правильного четырёхугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S4 — площадь правильного четырёхугольника.

[править] Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=4:

[math]S_4=a^2ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=4R^2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{4}} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=4r^2tg\frac{\pi}{4}, \ r=R\cos\frac{\pi}{4}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/4:

[math]S_4=a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{1}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{1}{2}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=2R^2, \ R=\frac{\sqrt{2}}{2}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_4=4r^2, \ r=\frac{\sqrt{2}}{2}R,[/math]

где [math]\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math], [math]\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math], [math]tg\frac{\pi}{4}=1[/math], [math]ctg\frac{\pi}{4}=1[/math].

[править] Другие многоугольники

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты