Площадь правильного шестиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Площадь правильного шестиугольника // KhanAcademyRussian [9:01]

Площадь правильного шестиугольника — это число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестиугольник (гексагон) — это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 6;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/6;

P6 — периметр правильного шестиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S6 — площадь правильного шестиугольника.

[править] Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=6:

[math]S_6=\frac{3a^2}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=6R^2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{6}} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=6r^2tg\frac{\pi}{6}, \ r=R\cos\frac{\pi}{6}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/6:

[math]S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2, \ R=a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_6=2\sqrt{3}r^2, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}R[/math]

где [math]\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}[/math], [math]\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math], [math]tg\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math], [math]ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}[/math]

[править] Другие многоугольники

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты