Площадь правильного шестнадцатиугольника

Правильный шестнадцатиугольник

Площадь правильного шестнадцатиугольника — число, характеризующее правильный шестнадцатиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный шестнадцатиугольник — шестнадцатиугольник (гексадекагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n=16;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/16=11 1/4 °;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=7π/8=157 1/2 °;

γ — центральный угол, γ=π/8=22 1/2 °;

P₁₆ — периметр правильного шестнадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₁₆ — площадь правильного шестнадцатиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=16, получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{16}=4a^2ctg\frac{\pi}{16} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=16S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{16} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=\frac{1}{2}P_{16}r, \ P_{16}=16a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{16} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=16R^2\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{16}} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=16r^2tg\frac{\pi}{16}, \ r=R\cos\frac{\pi}{16}}

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/16, получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{16}=4\left(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1\right)a^2 \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=16S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1}{4}a^2 \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=\frac{1}{2}P_{16}r, \ P_{16}=16a, \ r=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1}{2}a \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}R^2, \ R=\sqrt{8+4\sqrt{2}+4\sqrt{2+\sqrt{2}}+2\sqrt{4+2\sqrt{2}}}a \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{16}=16\left(\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}R,}

где

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}, \ \cos\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle tg\frac{\pi}{16}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1, \ ctg\frac{\pi}{16}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1.}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.