Площадь правильного шестнадцатиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь правильного шестнадцатиугольника — это число, характеризующее правильный шестнадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестнадцатиугольник — это шестнадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=16;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/16;

P16 — периметр правильного шестнадцатиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S16 — площадь правильного шестнадцатиугольника.

[править] Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=16:

[math]S_{16}=4a^2ctg\frac{\pi}{16} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=16S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{16} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=\frac{1}{2}P_{16}r, \ P_{16}=16a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{16} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=16R^2\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{16}} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=16r^2tg\frac{\pi}{16}, \ r=R\cos\frac{\pi}{16}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/16:

[math]S_{16}=4\left(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1\right)a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=16S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=\frac{1}{2}P_{16}r, \ P_{16}=16a, \ r=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1}{2}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}R^2, \ R=\sqrt{8+4\sqrt{2}+4\sqrt{2+\sqrt{2}}+2\sqrt{4+2\sqrt{2}}}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_{16}=16\left(\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}R,[/math]

где

[math]\sin\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}, \ \cos\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}[/math]
[math]tg\frac{\pi}{16}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1, \ ctg\frac{\pi}{16}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1.[/math]

[править] Другие многоугольники

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты