Площадь правильного восьмиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь правильного восьмиугольника — это число, характеризующее правильный восьмиугольник в единицах измерения площади.

Правильный восьмиугольник (октагон) — это восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 8;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/8;

P8 — периметр правильного восьмиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S8 — площадь правильного восьмиугольника.

[править] Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=8:

[math]S_8=2a^2ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=8S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=\frac{1}{2}P_8r, \ P_8=8a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=8R^2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{8}} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=8r^2tg\frac{\pi}{8}, \ r=R\cos\frac{\pi}{8}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/8:

[math]S_8=2\left(\sqrt{2}+1\right)a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=8S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{2}+1}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=\frac{1}{2}P_5r, \ P_8=8a, \ r=\frac{\sqrt{2}+1}{2}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=2\sqrt{2}R^2, \ R=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_8=8(\sqrt{2}-1)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}R[/math]

где [math]\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/math], [math]\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/math], [math]tg\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1[/math], [math]ctg\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}+1[/math]

[править] Другие многоугольники

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты