Площадь правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник

Площадь правильного восьмиугольника — число, характеризующее правильный восьмиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный восьмиугольник — это восьмиугольник (октагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 8;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/8=22 1/2 °;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=3π/4=135°;

γ — центральный угол, γ=π/4=45°;

P₈ — периметр правильного восьмиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₈ — площадь правильного восьмиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=8, получим:

$S_{8}=2a^{2}ctg{\frac {\pi }{8}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{8}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}={\frac {1}{2}}P_{8}r,\ P_{8}=8a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{8}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8R^{2}\sin {\frac {\pi }{8}}\cos {\frac {\pi }{8}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{8}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8r^{2}tg{\frac {\pi }{8}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{8}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/8, получим:

$S_{8}=2\left({\sqrt {2}}+1\right)a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {{\sqrt {2}}+1}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}={\frac {1}{2}}P_{5}r,\ P_{8}=8a,\ r={\frac {{\sqrt {2}}+1}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=2{\sqrt {2}}R^{2},\ R={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2},\ r={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}R$

где $\sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$, $\cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$, $tg{\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1$, $ctg{\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1$

Другие многоугольники:

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.