Площадь плоской фигуры

Видеоурок по математике "Вычисление площади фигуры" // Математика от alwebra.com.ua [4:30]

Лекция 19.Вычисление площади плоской фигуры // NWTU [7:58]

Площадь плоской фигуры — это действительное число, характеризующее плоскую фигуру в единицах измерения площади.

Формулы[править]

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x, y) ≤ 0, считается по формулам:

S_{\text{фиг}}=\iint \limits _{f(x,y)\geq 0}1dxdy\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}1dy\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left.y\right|_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}dx\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left[y_{2}(x)-y_{1}(x)\right]dx\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}dy\int \limits _{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}1dx\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}x\left.\right|_{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}dy\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}\left[x_{2}(y)-x_{1}(y)\right]dy

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(rcosφ, rsinφ) ≤ 0, считается по формулам:

S_{\text{фиг}}=\iint \limits _{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\leq 0}drd\varphi \Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}rdr\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left.r^{2}\right|_{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}d\varphi \Leftrightarrow S_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left[r_{2}^{2}(\varphi )-r_{1}^{2}(\varphi )\right]d\varphi

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x(t), y(t)) ≤ 0 или системой неравенств, считается по формулам:

S_{\text{фиг}}=\int \limits _{f(x(t),y(t))\leq 0}y(t)x'_{t}(t)dt\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)x'_{t}(t)dt\Leftrightarrow

S_{\text{фиг}}=\int \limits _{f(x(t),y(t))\leq 0}x(t)y'_{t}(t)dt\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)y'_{t}(t)dt