Площадь плоской фигуры

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Видеоурок по математике "Вычисление площади фигуры" // Математика от alwebra.com.ua [4:30]
Лекция 19.Вычисление площади плоской фигуры // NWTU [7:58]

Площадь плоской фигуры — это действительное число, характеризующее плоскую фигуру в единицах измерения площади.

Содержание

[править] Формулы

[править] Прямоугольная система координат

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x, y) ≤ 0, считается по формулам:

[math]S_\text{фиг}=\iint\limits_{f(x,y) \ge 0}1dxdy \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}1dy \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_{y_1(x)}^{y_2(x)}dx \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{x_1}^{x_2} \left[y_2(x)-y_1(x)\right]dx \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{y_1}^{y_2}dy\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}1dx \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{y_1}^{y_2}x\left.\right|_{x_1(y)}^{x_2(y)}dy \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{y_1}^{y_2} \left[x_2(y)-x_1(y)\right]dy[/math]

[править] Полярная система координат

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(rcosφ, rsinφ) ≤ 0, считается по формулам:

[math]S_\text{фиг}=\iint\limits_{f(r\cos\varphi,r\sin\varphi) \le 0} drd\varphi \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi\int\limits_{r_1(\varphi)}^{r_2(\varphi)}rdr \Leftrightarrow [/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{фиг}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\left.r^2\right|_{r_1(\varphi)}^{r_2(\varphi)}d\varphi \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left[r_2^2(\varphi)-r_1^2(\varphi)\right]d\varphi[/math]

[править] Параметрически заданная фигура

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x(t), y(t)) ≤ 0 или системой неравенств, считается по формулам:

[math]S_\text{фиг}=\int\limits_{f(x(t),y(t)) \le 0}y(t)x'_t(t)dt \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)x'_t(t)dt \Leftrightarrow[/math]
[math]S_\text{фиг}=\int\limits_{f(x(t),y(t)) \le 0}x(t)y'_t(t)dt \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{t_1}^{t_2}x(t)y'_t(t)dt[/math]

[править] См. также

[править] Площади плоских фигур:

[править] Другие формулы

[править] Виды формул

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.428.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты