Площадь поверхности

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Площадь поверхности [9:45]

Площадь поверхности — это число, характеризующее поверхность в единицах измерения площади.

Содержание

[править] Формулы

Площадь поверхности, заданной уравнением z = f(x, y) над областью, заданной неравенством g(x, y) ≤ 0, считается по следующим формулам.

[править] Прямоугольная система координат

[math]S_\text{поверхн}=\iint\limits_{g(x,y) \le 0}\sqrt{1+\left[f'_x(x,y)\right]^2+\left[f'_y(x,y)\right]^2}dxdy \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{поверхн}=\iint\limits_{g(x,y) \le 0}\sqrt{1+\left[z'_x(x,y)\right]^2+\left[z'_y(x,y)\right]^2}dxdy[/math]
  • Формула площади поверхности в прямоугольных координатах легко модифицируется в формулы для поверхности, заданной уравнением x = f(y, z) над областью, заданной неравенством g(y, z) ≤ 0, и для поверхности, заданной уравнением y = f(x, z) над областью, заданной неравенством gg(x, z) ≤ 0.

[править] Цилиндрическая система координат

[math]S_\text{поверхн}=\iint\limits_{g(r\cos\varphi,r\sin\varphi) \le 0}\sqrt{r^2+r^2\left[f'_r(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\right]^2+\left[f'_\varphi(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\right]^2}drd\varphi \Leftrightarrow[/math]
[math]S_\text{поверхн}=\iint\limits_{g(r\cos\varphi,r\sin\varphi) \le 0}\sqrt{r^2+r^2\left[z'_r(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\right]^2+\left[z'_\varphi(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\right]^2}drd\varphi[/math]

[править] Примеры фигур

[править] Другие формулы

[править] Виды формул

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.428.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты