Площадь поверхности фигуры вращения

Нахождение площади поверхности вращения тела // bezbotvy [2:12]

Лекция 23.Вычисление площади поверхности вращения // NWTU [4:09]

Файл:Surface of revolution illustration.png

Поверхность, полученная вращением кривой x=2+cos z вокруг оси z

Площадь поверхности фигуры вращения — это сумма площади боковой поверхности фигуры, образованной вращением образующей, и площади оснований (при наличии оснований).

Формулы

Всюду подразумевается, что:

1. нижний предел интегрирования не превышает верхний (что по контексту очевидно);
2. функция, стоящая перед корнем, — неотрицательное число. Потому, что представляет собой радиус какого-либо сечения, поперечного относительно оси вращения.

Формула 1

Площадь поверхности, образованной вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX:

$S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+\left[f'_{x}(x)\right]^{2}}}dx\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+\left(y'_{x}\right)^{2}}}dx}

Формула 2

Площадь поверхности, образованной вращением кривой x=f(y) вокруг оси OY:

$S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OY}=2\pi \int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}f(y){\sqrt {1+\left[f'_{y}(y)\right]^{2}}}dy\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OY}=2\pi \int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}x{\sqrt {1+\left(x'_{y}\right)^{2}}}dy$

Формула 3

Площадь поверхности, образованной вращением кривой (f(t),g(t)), заданной через параметр t, вокруг оси OX:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{{\text{бок. пар. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}g(t){\sqrt {[f'_{t}(t)]^{2}+[g'_{t}(t)]^{2}}}{\text{d}}t\Leftrightarrow }

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{{\text{бок. пар. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}y{\sqrt {(x'_{t})^{2}+(y'_{t})^{2}}}{\text{d}}t}

Примеры фигур вращения

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. шаровая бочка;
18. круговая бочка;
19. сегментное кольцо;
20. тор;
21. кокон;
22. купол;
23. сфероид;
24. параболоид вращения.

См. также

• Объём фигуры вращения

Другие формулы:

1. многоугольник;
2. правильный многоугольник;
3. криволинейный многоугольник;
4. плоская фигура;
5. многогранник;
6. правильный многогранник;
7. поверхность;
8. фигура вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.395.