Площадь поверхности шарового слоя

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шаровой слой
Вывод формулы

Площадь поверхности шарового слоя — это сумма боковой площади шарового слоя и площадей оснований шарового слоя.

Под шаровым слоем будем подразумевать часть шара, ограниченную двумя параллельными плоскостями (кругами).

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус шара;

r1 — радиус верхнего основания шарового слоя и меньшего шарового сегмента;

r2 — радиус нижнего основания шарового слоя и большего шарового сегмента;

h — высота шарового слоя;

h1 — высота меньшего шарового сегмента;

h2 — высота большего шарового сегмента;

Sбок.шар.слой — площадь боковой поверхности шарового слоя;

Sосн.r1сегм — площадь основания меньшего шарового сегмента;

Sосн.r2сегм — площадь основания большего шарового сегмента;

Sшар.слой — площадь поверхности шарового слоя.

[править] Формула

[math]S_\text{шар.слой}=\pi\left(r_1^2+r_2^2+2Rh\right), \ h=h_2-h_1 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{шар.слой}=S_\text{бок}+S_{r_1\text{осн}}+S_{r_2\text{осн}}, \ S_\text{бок}=2\pi Rh, \ S_{r_1\text{осн}}=\pi r_1^2, \ S_{r_2\text{осн}}=\pi r_2^2[/math]
  • Заметим, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит от высоты слоя и радиуса шара и не зависит от радиусов оснований слоя. Соответственно, площадь боковой поверхности шарового слоя определённой высоты равна площади боковой поверхности шарового сегмента такой же высоты и радиуса шара.

[править] Вывод формулы

[math]S_\text{бок.шар.слой}=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}'\right)^2}dx=[/math]
[math]=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}Rdx=2\pi R\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}1dx=[/math]
[math]\left.2\pi Rx\right|_{R-h_2}^{R-h_1}=2\pi R(h_2-h_1)=2\pi Rh \Rightarrow S_\text{бок.шар.слой}=2\pi Rh[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.177.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты