Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс
Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0 < x < ∞ в единицах измерения площади.
Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0, R).
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (большая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса (меньшая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M = (x, y) — точка трактрисы;
M0 = (0, R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная;
x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y = Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Sтрак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0 ≤ x2 ≤ x1 < ∞.
Формула[править]
- Площадь, ограниченная дугой трактрисы M0M и осью абсцисс, равна St = R2(π − 2t − sin2t)/4.
- Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, Sтрак = πR2/2.
Вывод формулы[править]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- плоская фигура;
- круг;
- сегмент круга;
- сектор круга;
- сегмент правильного многоугольника;
- сектор правильного многоугольника;
- серп;
- сегмент параболы;
- эллипс;
- сегмент эллипса;
- сектор эллипса;
- серп эллипса;
- сегмент гиперболы;
- арка синусоиды;
- арка косинусоиды;
- фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- арка циклоиды;
- сектор кардиоиды;
- фигура, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- фигура, ограниченная трактрисой и осью абсцисс;
- сектор лемнискаты Бернулли.