Площадь арки синусоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Синусоида
Формула

Площадь арки синусоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) синусоиды в единицах измерения площади.

Арка (полуволна) синусоды — это область, ограниченная синусоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ π.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;

x2 — абсцисса второй (большей) точки;

y = sinx — уравнение синусоиды;

Ssin — площадь арки (или части арки) синусоиды.

[править] Формула

[math]S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \pi[/math]
  • Площадь полной (от 0 до π) арки синусоиды равна Sарк.sin = 2.

[править] Вывод формулы

[math]S_{\sin}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x_2 \le \pi \\ 0 \le y \le \sin x}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_0^{\sin x}1dy=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{\sin x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sin xdx=\left.(-\cos x)\right|_{x_1}^{x_2}=[/math]
[math]=-\cos x_2+\cos x_1=\cos x_1-\cos x_2 \Rightarrow S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты