Площадь сектора лемнискаты Бернулли

Лемниската Бернулли

Формула

Площадь сектора лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее сектор лемнискаты Бернулли в единицах измерения площади.

Сектор лемнискаты Бернулли — это часть лемнискаты Бернулли, отсекаемая двумя прямыми (радиусами), проходящими через центр симметрии.

Рассмотрим секторы лемнискаты Бернулли, отсекаемые двумя прямыми, проходящими через центр симметрии в первом квадранте.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

F₁ — правый фокус;

F₂ — левый фокус;

c — половина расстояния между фокусами;

(x² + y²)² = 2c²(x² − y²) — уравнение лемнискаты Бернулли;

φ₁ — угол (меньший) первой точки сектора;

φ₂ — угол (больший) второй точки сектора;

φ — независимая переменная;

r² = 2c²cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;

S_{сект.лемн} — площадь сектора лемнискаты Бернулли.

S_{\text{сект.лемн}}={\frac {1}{2}}c^{2}(\sin 2\varphi _{2}-\sin 2\varphi _{1}),\ -{\frac {\pi }{4}}\leq \varphi _{1}\leq \varphi _{2}\leq {\frac {\pi }{4}}

S_{\text{сект.лемн}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r^{2}d\varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}2c^{2}\cos 2\varphi d\varphi ={\frac {1}{2}}c^{2}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\cos 2\varphi d2\varphi =

=\left.{\frac {1}{2}}c^{2}\sin 2\varphi \right|_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}={\frac {1}{2}}c^{2}(\sin 2\varphi _{2}-\sin 2\varphi _{1})\Rightarrow S_{\text{сект.лемн}}={\frac {1}{2}}c^{2}(\sin 2\varphi _{2}-\sin 2\varphi _{1})

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в полярных координатах.