Задача фараона

Рисунок к задаче

Задача фараона или колодец лотоса — одна из задач занимательной математики. Опубликована в журнале «Наука и Жизнь» № 1 за 1966 год, причем в публикации утверждалось, что якобы была сформулирована в 8 веке до н. э и прародитель «неразрешимых задач», таких, как «трисекция угла», «удвоение куба» (задача Дельфийского оракула) и «квадратура круга». Независимых подтверждений этому не известно, то есть скорее всего это мистификация автора статьи в «Науке и жизни».

В статье указан математический метод решения задачи. Ответом является иррациональное алгебраическое число, которое является корнем алгебраического уравнения 8 степени.

Условие

В круглом колодце налита вода на одну единицу длины. Две разновеликие тростинки, с длиной 2 и 3 единицы соответственно, одними концами упираются в дно колодца, а другими концами опираются на его стены. Тростинки пересекаются на уровне налитой в колодец воды. Какова ширина (диаметр) колодца?

Другая («современная») формулировка:

На дно колодца опустили две палки длиной 2 м и 3 м так, что они пересекаются. Расстояние от их пересечения до дна составляет 1 м. Найти диаметр основания.

Решение

Задача сводится к нахождению положительного корня уравнения ${\frac {1}{\sqrt {9-d^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {4-d^{2}}}}=1$. Далее любой подстановкой, снижающей степень (например, $d^{2}=t+6{,}5$) уравнение преобразуется к уравнению четвёртой степени, которое решается, например, методом Феррари и с помощью формулы Кардано.

В итоге получается ответ $d\approx 1{,}23119\ldots$.

Общая формула

Есть более общая формулировка задачи

${\frac {{\sqrt {a^{2}-d^{2}}}\cdot {\sqrt {b^{2}-d^{2}}}}{{\sqrt {a^{2}-d^{2}}}+{\sqrt {b^{2}-d^{2}}}}}=h$

где $a$ — длина меньшей тростинки; $b$ — длина большей тростинки; $h$ — расстояние от пересечения тростинок до дна.

Целочисленное решение: $a=104\,;\,b=296\,;\,d=96\,;\,h=35$.

Суть геометрического решения

Задачу можно рассматривать как задачу на геометрические построения с циркулем и линейкой.

Если продлить меньшую диагональ трапеции до пересечения с прямой, параллельной дну колодца, но исходящей от точки касания стены колодца и большой тростинки, то мы получаем отрезок с длиной, равной произведению дна на уменьшенную на один боковую стенку. А это есть номограмма, в которой после задания отрезка единичной длины можно находить результат умножения, деления и возведения в степень. Таким образом, задача может сводиться к умению пользоваться номограммой для нахождения иррациональных чисел.