История финансовой математики

 → Финансовая математика

На протяжении всей истории человечества математика и финансы всегда находились в близких отношениях. Так, сначала вавилоняне, а затем такие учёные, как Фалес, Фибоначчи, Паскаль, Ферма, Бернулли, Башелье, Винер, Колмогоров, Ито, Марковиц, Блэк, Шоулз, Мертон и многие другие внесли огромный вклад в развитие математики, связанной с финансовыми проблемами.

Античные времена

Вероятно, самым ранним примером финансовой инженерии являются труды древнегреческого философа Фалеса Милетского (624-547 г. до н.э.). Так, согласно истории, он умел по звездам предсказать, что будет большой урожай оливок в следующем году; так, имея немного денег, он делал вклад для использования всех прессов для оливок в Хиосе и Милете, которые он нанимал по низкой цене. Когда приходило время сбора урожая, и многим были необходимы прессы для оливок, Фалес устанавливал на них такую цену, какую ему вздумается. Таким образом, он показал миру, что философы могут легко быть богатыми, если захотят. Так, 2500 лет назад, вклад Фалеса для использования всех прессов являлся ни чем иным, как опционом-call, дающим право купить указанный товар в определённый момент времени.

Средние века

В 1202 году Леонордо Фибоначчи, написал самую первую книгу по финансовой математике, «Книга вычислений». В ней Фибоначчи рассчитал текущую стоимость альтернативных денежных потоков в дополнение к разработке общего метода для выражения инвестиций и решил широкий спектр задач, связанных с процентными ставками. Одной из наиболее сложных проблем, затронутой Фибоначчи, является задаа с процентными ставками из его книги: «Король предоставляет солдату ежегодную плату из 300 безантов в год, выплачиваемую ежеквартальными платежами 75 безантов. Король меняет график платежей на ежегодный и в конце года выплачивается 300. Солдат может заработать 2 безанты на 100 в месяц (за каждый квартал) от его инвестиций. Какова эффективная компенсация после изменения условий оплаты?».

Новое время

Джироламо Кардано, известный итальянский математик эпохи Ренессанса, в 1565 году опубликовал свой трактат «Книга азартных игр», который основал элементарную теорию азартных игр. Его интерес к азартным играм включал в себя не только желание выжить в трудные времена безработицы, но также Кардано хотел получить основные правила вероятности. Считается, что понятие честной игры, изложенное в данной книге, является таким современным понятием, как мартингал, «самый фундаментальный принцип в азартных играх просто равенство условий. Вы дурак в той мере, в какой вы отступаете от этого равенства в пользу вашего оппонента».

Примерно через столетие после Кардано, в 1654 году, два французских математика Блез Паскаль и Пьер де Ферма', заложили первые основы теории вероятностей. Первоначально поставленная задача заключалась в том, чтобы решить, стоит ли делать ставки на то, что при 24 бросаниях игральных костей два раза выпадет по 6 очков. В серии писем, которыми обменивались Паскаль и Ферма, они решили эту проблему и проблему точек (также известную как проблема «незавершенной игра»), которая по сути такая же, как и проблема ценообразования опциона-call для модели Кокса-Росса-Рубинштейна. Следовательно, Паскаль и Ферма также могут считаться первыми финансовыми математиками.

На рубеже 20-го века, 29 марта 1900 года, французский докторант Луи Башелье защитил диссертацию «Теория спекуляций», которая сегодня признана свидетельством о рождении современной финансовой математики. Его работа была опубликована в одном из самых влиятельных французских научных журналов, Annales Scientiques de l'cole Normale Supe'rieure. Башелье считается первым, который ввёл в математику броуновское движение и применил его траектории для моделирования динамики цен на акции и расчет опционных цен. Модель Башелье дает хорошие кратковременные аппроксимации цен и волатильности. Его новаторская работа в отношении финансовых рынков также привела к развитию того, что сегодня известно как Гипотеза эффективных рынков и связанной с ней теории, такой как модель оценки основных фондов. Он пишет в своем тезисе: «Факторы, которое определяют движения биржи бесчисленны; прошедшие, текущие и даже ожидаемые события, которые часто не имеют очевидной связи с его изменениями… Поэтому невозможно надеяться на математическую предсказуемость ». В честь его большого вклада в развитие стохастического исчисления и финансовую математику, в 1996 году сформировали Финансовое общество Башелье, в котором учёные имеют возможность встретиться и обменяться идеями.

Большинство интересных нововведений в современной истории финансовой математики уходит корнями в открытие Броуновского движения шотландским ботаником Робертом Броуном. В 1827 году он наблюдал быстрое колебательное движение микроскопических частиц в жидкости, вызванное их столкновением с атомами или молекулами в жидкости. Однако, как упоминалось выше, Башелье был первым, кто определил броуновское движение математически и применил данную математическую модель к модели динамика цен.

Однако, Норберт Винер первым предложил строгую математическую формулировку построения броуновского движения, поэтому оно также называется винеровским процессом. Он доказал существование броуновского движения и построил меру Винера, которая описывает распределение вероятностей Броуновского движения. Винеровский процесс был использован для описания многих физических явлений из-за его многочисленных интересных свойств: он непрерывный всюду, но нигде дифференцируем.

Новейшее время

Одна из наиболее широко используемых математических формул в финансовой математике сегодня, лемма Ито, была получена японским математиком Киёши Ито в своей знаменитой статье: «О стохастических дифференциальных уравнениях (1951) ». Пытаясь построить модель для марковского процесса, Ито построил свой знаменитый стохастический дифференциал.

Лемму Ито можно рассматривать как стохастическое исчисление (аналог правила цепи в ньютоновском исчислении). Формула Ито применяется не только в разных областях математики, но и в теории поля в физике, стохастической теории управления в технике, популяционной генетике в биологии и во многих других областях. Ито считается отцом стохастического интегрирования и стохастических дифференциальных уравнений, лежащих в основе стохастического исчисления. В 2006, из-за его чрезвычайной работы и выдающегося вклада в науку, премия Гаусса была впервые присуждена Киёши Ито.

Примерно в то же время, когда Киёши Ито строил основы стохастического исчисления, Гарри Марковиц опубликовал свою статью «Выбор портфеля», которая считается первой влиятельной работой по финансовой математике, привлекшей внимание вне академических кругов. Его статья вместе с книгой 1959 года «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций» заложили основу для того, что сегодня называется «современной теорией портфеля». До работы Марковица инвесторы формировали портфели, оценивая риски и доходность отдельных акций. Это приводилло к созданию портфелей ценных бумаг с одинаковыми характеристиками риска. Однако, Марковиц утверждал, что инвесторы должны иметь портфели, основанные на их общих характеристиках возврата риска, показывая, как вычислить средний доход и дисперсию для данного портфеля. Марковиц представил концепцию эффективной границы, которая является графической иллюстрацией набора портфелей, обеспечивающих максимальный уровень ожидаемой доходности на разных уровнях риска.

Большой прорыв произошел в 1973 году, когда Фишер Блэк и Майрон Шоулз опубликовали статью «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств» и Роберт Мертон опубликовали статью «О ценообразовании корпоративного долга: структура риска процентных ставок ". В этих статьях была введена новая методология оценки финансовых инструментов и, в частности, модель Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов-call и put. В то же время еще одним прорывом стало основание Чикагской биржи, на которой продавались опционы. Рынок крайне быстро адаптировал представленные в статьях модели. К 1975 году почти все торговцы оценивали и хеджировали опционы с использованием модели Блэка-Шоулза, которая была встроена в их ручные калькуляторы. От крошечной рыночной торговли 16 опционных контрактов 1973 года, рынок разросся до дохода в триллионов долларов.

Работа Блэка-Шоулза-Мертона также сыграла значительную роль в расширении финансовой математической литературы. Сегодня финансовые математики в основном используют два подхода для расчета цен опционов. В первом подходе цена может быть найдена как рискнейтральное ожидаемое значение дисконтированного опциона. Во втором подходе цена опциона - это решение знаменитого уравнения Блэка-Шоулза-Мертона.

Работа Блэка-Шоулза-Мертона привела к огромной исследовательской деятельности в рамках финансовой математики, которая растёт день ото дня. В последнее время в финансовой математики большую популярность набирает решение задачи «надёжного хеджирования». В экономике надежность связана с устойчивостью экономической модели при разных предположениях, параметрах и начальных условиях, а также эффективностью финансовой системы на разных рынках и для разных рыночных условий.