Квазикоординаты

Шаблон:Проведена экспертиза РАН Ква́зикоордина́ты — условно вводимые обозначения, позволяющие описывать поведение механических систем с помощью уравнений движения под действием набора сил.

Физические основы

Конфигурация динамических систем в общем виде задаётся $n$ независимыми параметрами $\{q_{1},...q_{n}\}$. Для решения основной задачи механики и определения скоростей всех точек динамической системы использование обобщённых скоростей вида $\{{\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...{\dot {q_{n}}}\}$ неудобно с точки зрения трудоёмкости решения, а вот комбинация линейных форм с коэффициентами, зависящими от обобщённых координат вида:

$w_{s}=a_{s1}{\dot {q_{1}}}+...+a_{sn}{\dot {q_{n}}}$,

где $s=1,...n$, позволяет упростить вычисления.

Здесь $w_{s}$ — квазискорости точек динамической системы.

В качестве примера приведём систему проекций вектора угловой скорости тела $w$ на оси $Ox'y'z'$ в случае, когда обобщёнными координатами свободного твёрдого тела являются координаты полюса $x_{0},y_{0},z_{0}$ в неподвижной системе ${\bar {O}}x'y'z'$:

${\begin{cases}w_{1}={\dot {\vartheta }}\cos \varphi +{\dot {\psi }}\sin \vartheta \sin \varphi ,\\w_{2}=-{\dot {\vartheta }}\sin \varphi +{\dot {\psi }}\sin \vartheta \sin \varphi ,\\w_{3}={\dot {\varphi }}+{\dot {\psi }}\cos \vartheta \end{cases}}$,

а выражение для скоростей примет вид:

${\begin{cases}v_{0x'}={\dot {x_{0}}}\alpha _{11}+{\dot {y_{0}}}\alpha _{12}+{\dot {z_{0}}}\alpha _{13},\\v_{0y'}={\dot {x_{0}}}\alpha _{21}+{\dot {y_{0}}}\alpha _{22}+{\dot {z_{0}}}\alpha _{23},\\v_{0z'}={\dot {x_{0}}}\alpha _{31}+{\dot {y_{0}}}\alpha _{32}+{\dot {z_{0}}}\alpha _{33},\end{cases}}$.

Здесь $\alpha _{ik}$ — обозначения косинусов углов осей системы $Ox'y'z'$ с неподвижными осями.

Через квазискорости можно выражать и другие величины. Видно, что запись уравнений через квазискорости гораздо проще, чем через обобщённые скорости, особенно для выражения кинетической энергии твёрдого тела, проекций момента количества движения, и др.

Квазикоординаты вводятся как линейные формы дифференциалов обобщённых координат:

$d\pi _{s}=\alpha _{s1}dq_{1}+...+\alpha _{sn}dq_{n}$,

где $s=1,...n$.

В этом выражении введённое обозначение $\pi _{s}$ принято называть квазикоординатами. Для квазикоординат выполняется отношение:

${\frac {d\pi _{s}}{dt}}=w_{s}={\overset {0}{\pi _{s}}}$,

в котором ноль над $\pi$ обозначает, что речь идёт о квазикоординатах, а не о дифференцировании по времени.

Если выражения для механической системы интегрируемы, то в квазикоординатах можно записать:

$\pi _{s}=\pi _{s}(q_{1},...q_{n})$,

где $s=1,...n$.

Литература

• Лурье А. И. Аналитическая механика. — Москва : Физматлит, 1961.
• В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1989. — 472 с.
• Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. — Москва : Эдиториал УРСС, 2004.

Ссылки

• Квазикоординаты

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Квазикоординаты», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Квазикоординаты» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».