Комбинированный метод
Комбинированный метод (метод хорд и касательных) — это численный метод нахождения (одного) решения x (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.
Описание метода[править]
Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a; b] (при условии f(a)f(b) < 0) на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.
Построение хорд и касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.
Комбинированный метод применим для решения уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a; b], если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x) ≠ 0 и f’’(x) ≠ 0.
Условие начальной точки для метода хорд f(x)f’’(x) < 0.
Условие начальной точки для метода касательных f(x)f’’(x) > 0.
Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b) < 0.
Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения[править]
Входные данные: f(x), f’(x), f’’(x), a, b, ε.
- Если f(a)f’’(a) < 0, то a = a − f(a)(a − b)/(f(a) − f(b))
- иначе если f(a)f’’(a) > 0, то a = a − f(a)/f’(a)
- Если f(b)f’’(b) < 0, то b = b − f(b)(b − a)/(f(b) − f(a))
- иначе если f(b)f’’(b) > 0, то b = b − f(b)/f’(b)
- Если |a − b| > 2ε, то идти к 1.
- x = (a + b)/2
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.
Если f(x) = 0, то x — точное решение.
Другие методы:[править]
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Литература[править]
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.