Комбинированный метод

Комбинированный метод (хорд-касательных) [11:42]

Комбинированный метод (метод хорд и касательных) — это численный метод нахождения (одного) решения x (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a;b] (при условии f(a)f(b)<0) на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.

Построение хорд и касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Комбинированный метод применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a;b], если ни одна точка отрезка [a;b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f’’(x)≠0.

Условие начальной точки для метода хорд f(x)f’’(x)<0.

Условие начальной точки для метода касательных f(x)f’’(x)>0.

Сначала находим отрезок [a;b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’(x), f’’(x), a, b, ε.

1. Если f(a)f’’(a)<0, то a=a−f(a)(a−b)/(f(a)−f(b))

   иначе если f(a)f’’(a)>0, то a=a−f(a)/f’(a)

2. Если f(b)f’’(b)<0, то b=b−f(b)(b−a)/(f(b)−f(a))

   иначе если f(b)f’’(b)>0, то b=b−f(b)/f’(b)

3. Если |a−b|>2ε, то идти к 1.
4. x=(a+b)/2

Выходные данные: x.

• Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
• Если f(x)=0, то x — точное решение.

Другие методы:

1. деление отрезка пополам;
2. комбинированный метод;
3. метод итераций;
4. метод касательных;
5. метод хорд;
6. универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.