Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Метод касательных

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Метод касательных [3:44]

Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Описание метода[править]

Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a; b] (при условии f(a)f(b) < 0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.

Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a; b], если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x) ≠ 0 и f’’(x) ≠ 0.

Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f’’(x) < 0.

Условие начальной точки для метода касательных f(x)f’’(x) > 0.

Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b) < 0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения[править]

Входные данные: f(x), f’(x), f’’(x), a, b, ε.

  1. Если f(a)f’’(a) > 0, то x = a, иначе если f(b)f’’(b) > 0, то x = b.
  2. Δx = f(x)/f’(x).
  3. x = x − Δx
  4. Если |Δx| > ε, то идти к 2.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Если f(x) = 0, то x — точное решение.

Другие методы:[править]

  • Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература[править]

  • Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.