Лемма о липшицевости

Лемма о липшицевости — теорема, утверждающая, что из существования непрерывной производной непрерывной функции по некоторой переменной следует, что эта функция удовлетворяет условию Липшица по этой переменной. Обратное утверждение неверно. Из липшицевости функции по некоторой переменной не следует существование производной по этой переменной.

Формулировка (для 2 переменных)

Пусть функция двух переменных $f(x,\;y)$, заданная в открытой области $G=\left\{(x,\;y),\;a<x<b,\;c<y<d\right\}$, непрерывна и обладает непрерывной производной ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ в $G$. Тогда на любом ограниченном подмножестве $M$ из $G$, замыкание которого принадлежит $G$, функция $f(x,\;y)$ удовлетворяет условию Липшица: $\left|f(x,\;y_{1})-f(x,\;y_{2})\right|\leqslant L\left|y_{1}-y_{2}\right|,\ (x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})\in M$, где постоянная $L$ зависит, вообще говоря, от $M$.

Доказательство

Возьмём в качестве $M$ прямоугольник $P=\left\{(x,\;y)\colon \left|x-x_{0}\right|\leqslant a,\ \left|y-y_{0}\right|\leqslant b\right\}$ с центром в точке $(x_{0},\;y_{0})$, целиком содержащийся в области $G$. Тогда по теореме Лагранжа о среднем для любых точек $(x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})\in P\colon \left|f(x,\;y_{1})-f(x,\;y_{2})\right|=\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;\eta )\right|\cdot \left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant L\left|y_{1}-y_{2}\right|$, где $L=\max _{(x,\;y)\in P}\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|$.

По существу, так же проходит доказательство, если в качестве $M$ взять ограниченную открытую подобласть $G'$ области $G$, выпуклую относительно $y$, замыкание которой принадлежит $G\colon {\bar {G'}}\subset G$. Выпуклость $G'$ относительно $y$ означает, что если точки $(x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})$ принадлежат $G'$, то точка $(x,\;\eta )$, где $\eta$ — число, промежуточное между $y_{1}$ и $y_{2}$, также принадлежит $G'$. Поэтому можно вновь применить теорему Лагранжа о среднем.

См. также

• Условие Липшица
• Теорема Лагранжа о среднем значении