Логарифмические уравнения

Логарифми́ческие уравне́ния — уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Для упрощения и решения уравнения с логарифмами необходимо применять определение и свойства логарифмов.

Основное логарифмическое тождество

$a^{\log _{a}b}=b$.

Ещё несколько тождеств, очевидных из определения логарифма:

$\log _{a}1=0$,

$\log _{a}a=1$,

$\log _{a}a^{b}=b$.

Логарифм произведения, частного, степени

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны:

	формула	пример
логарифм произведения	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
логарифм частного	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
логарифм степени	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
степень в основании логарифма	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1$

Примеры

Пример 1

Решить логарифмическое уравнение:

$log_{3}(x^{2}+72)=4$.

Решение:

1. Определим область допустимых значений: $x^{2}+72>0$, для всех $x\in \mathbb {R}$.

2. Согласно определению логарифма:

$x^{2}+72=3^{4}$;

$x^{2}+72=81$;

$x^{2}-9=0$;

$(x-3)(x+3)=0$; следовательно:

Ответ: $x_{1}=3$, $x_{2}=-3$.

Пример 2

Решить логарифмическое уравнение:

$\lg(x+1)+\lg(x+4)=1$.

Решение:

1. Определим область допустимых значений: $x+1>0$ и $x+4>0$, т.е. $x>-1$ и $x>-4$.

Таким образом ОДЗ: $x\in (-1,+\infty )$.

2. По свойству логарифма преобразуем левую часть:

$\lg(x+1)(x+4)=1$.

По определению десятичного логарифма преобразуем правую часть:

$\lg(x+1)(x+4)=\lg 10$.

3. Приравняем выражения под знаком логарифма:

$(x+1)(x+4)=10$.

4. Запишем полученное выражение в виде квадратного уравнения:

$x^{2}+5x-6=0$.

5. По теореме Виета:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-5\\x_{1}\cdot x_{2}=-6\end{cases}}$, откуда: $x_{1}=-6$, $x_{2}=1$.

Но $x_{1}=-6$ не является корнем уравнения, т.к. не принадлежит ОДЗ. Окончательно получаем:

Ответ: $x=1$.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Логарифмические уравнения», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Логарифмические_уравнения» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».