Матричная единица

Матричная единица (англ. Matrix unit) - простейшая матрица, не являющаяся нулевой матрицей. Матричная единица это матрица, имеющая единственный ненулевой элемент со значением 1. Матричная единица, имеющая элемент равный 1 в строке i и столбце j обозначается $E_{ij}$. Например, матричная единица, имеющая размер $3\times 3$, где i = 1 и j = 2:

$$E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

$$E_{ij}=e_{ij}=i{\overset {j}{\begin{bmatrix}&\vdots &\\\cdots &1&\cdots \\&\vdots &\end{bmatrix}}}$$

Множество матричных единиц размера $m\times n$ образуют базис пространства всех матриц размера $m\times n$, поскольку каждая матрица размера $m\times n$ $A=(a_{ij})$ является линейной комбинацией матричных единиц $e_{ij}$.:

$A=a_{11}e_{11}+a_{12}e_{12}+\cdots =\sum _{i,j}a_{ij}e_{ij}$

Например, базис пространства всех матриц размера $2\times 2$ образуют следующие матричные единицы:

$$\mathbf {e} _{11}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.$$

Пример представления матрицы размера $2\times 2$ как линейной комбинации матричных единиц:

${\begin{bmatrix}4&2\\7&1\end{bmatrix}}\ =4{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\ +2{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\ +7{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}\ +1{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}=4\mathbf {e} _{11}+2\mathbf {e} _{12}+7\mathbf {e} _{21}+1\mathbf {e} _{22}$

Произведение матричной единицы $\mathbf {e} _{ij}$ размера $m\times n$ и матричной единицы $\mathbf {e} _{jl}$ размера $n\times p$ равно:

$\mathbf {e} _{ij}\mathbf {e} _{jl}=\mathbf {e} _{il}$, и $\mathbf {e} _{ij}\mathbf {e} _{kl}=0$ если $j\neq k$

Вектора столбец $\mathbf {e} _{i}$, имеющий только единственный ненулевой элемент $1$ в позиции $i$, сходен с матричной единицей. Множество таких вектор-столбцов образуют стандартный базис n-мерного пространства $\mathbb {R} ^{n}$

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Матричная единица», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Матричная_единица» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».