Невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли
Невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли — дифференцирование D в алебре Ли такое, что если , то (иными словами, ). Дифференцирование — это такое линейное отображение , что
Поле нулевой характеристики[править]
В случае поля нулевой характеристики алгебра Ли с невырожденным дифференцированием нильпотентна. Утверждение было впервые по-видимому доказано Натаном Джекобсоном.[1] Подобная задача есть в задачнике В. В. Трофимова по группам и алгебрам Ли. Нижеприведенное доказательство разбито на леммы, первые 4 из них приведены в книге Джекобсона «Алгебры Ли».
Итак, доказывается следующая теорема:
Пусть D — невырожденное дифференцирование в конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики, то есть — невырожденный линейный оператор (его ядро ) и
Тогда нильпотентна.
Основное поле можно считать алгебраически замкнутым (если это не выполнено, вложим его в алгебраическое замыкание и будем доказывать утверждение над ним).
Также будут использованы очевидные свойства присоединенного представления ad (adx(y) = [x, y]):
Лемма 1.
Лемма 2. — аналог бинома Ньютона (n — любое натуральное число, — число сочетаний из n по k).
Лемма 3. Пусть — корневое разложение относительно D. То есть , — корень, если . Тогда:
- (i) если α + β — корень, то ;
- (ii) если α + β — не корень, то .
(Следует из леммы 2).
Лемма 4. Определим линейный оператор S на , положив Sx = αx для (для каждого корня α). Тогда S — невырожденное дифференцирование на . Жорданов базис для D является базисом из собственных векторов для S.
Для дальнейшего зафиксируем такой базис {ei}, и имеем Sei = αiei.
Лемма 5. Если αi + αj ≠ 0, то форма Киллинга (ei, ej) = 0.
(Следует из того, что поскольку S — дифференцирование, то имеем (Sξ,η) + (ξ,Sη) = 0, далее полагаем ξ = ei, η = ej).
Лемма 6. Для любого i имеем, что — нильпотентный линейный оператор (некоторая его степень равна 0).
(Следует из леммы 3).
Лемма 7. Если αi + αj = 0, то — нильпотентный линейный оператор (так как по лемме 3 [ei,ej] = 0).
Следовательно, форма Киллинга .
Лемма 8. Для любых форма Киллинга (ξ,η) = 0.
(следует из разложения ξ и η по базису {ei}).
Следствие. Алгебра Ли разрешима (по критерию Картана).
Лемма 9. Пусть δ — алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры Ли ; Δ = δ⊕<D> (внутреннее дифференцирование — дифференцирование вида adξ). Тогда коммутант Δ' = δ.
Лемма 10. Алгебра Ли δ разрешима (так как разрешима).
Лемма 11. Алгебра Ли Δ разрешима (так как Δ' = δ и δ разрешима). Следовательно, δ нильпотентна.
Лемма 12. Алгебра Ли нильпотентна.
Поле положительной характеристики[править]
В случае поля положительной характеристики существуют простые алгебры Ли с невырожденным дифференцированием, и они поддаются классификации.[2] Оказывается, что если характеристика поля p > 7, то таковыми алгебрами могут быть только некоторые простые специальные алгебры S(m:n;ω), n = (n1,…, nm), размерности (m-1)(pn−1), n = n1 + … + nm, и некоторые простые гамильтоновы алгебры H (m:n;ω) размерности pn−1.
Периодическое дифференцирование[править]
Любая конечномерная алгебра Ли с невырожденным дифференцированием допускает периодическое дифференцирование (то есть такое дифференцирование, некоторая степень которого — тождественное преобразование).
Источники[править]
Литература[править]
- Трофимов В. В. Задачи по теории групп ли и алгебр Ли — М.: МГУ, 1990.
- Джекобсон Н. Алгебры Ли — М., 1964.
- Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976.
- Кострикин А. И., Кузнецов М. И. Два замечания об алгебрах Ли с невырожденным дифференцированием // Тр. МИАН, 1995, том 208, 186—192.