Неравенства Бонферрони

Неравенство Бонферрони применяется, когда служно или невозможно вычислить вероятность пересечения событий, но существует необходимость оценки ее значения.

${\mathbb {P} }\left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}^{\complement }).$ $A^{\complement }$ - обозначение дополнения события $A$.

Неравенство названо по имени итальянского математика Карло Эмилио Бонферрони.

Частным случаем неравенства Бонферрони является неравенство Буля или граница объединения событий. Согласно неравенству Буля для любого конечного или счетного множества событий $A_{1}A_{2}A_{n}$, вероятность того что по крайней мере одно из событий произойдет не выше чем сумма вероятностей каждого события множества.

${\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).$

Таким образом, неравенство Буля определяет оценку сверху вероятности того, что произойдет по крайней мере одно из событий, зная вероятности каждого события в отдельности. Неравенство названо по имени разработчика Джорджа Буля.

Неравенство Бонферрони определяет оценку сверху и оценку снизу вероятности конечного объединения или пересечения событий. Для определения оценки сверху и оценки снизу вероятности объединения событий $A_{1},A_{2},A_{n}$ задается множество вложенных пересечений этих множеств таким образом, что:

$\quad P_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad P_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,$

$\quad P_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),\quad P_{n}:={\mathbb {P} }(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cdots \cap A_{n})$

Согласно принципу включений-исключений:

${\mathbb {P} }(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cdots \cup A_{n})=P_{1}-P_{2}+P_{3}-P_{4}+\cdots \pm P_{n}$

При этом $P_{i}$ упорядочены таким образом, что $P_{i}\geq P_{j}$ если $i\leq j$. Таким образом, мы получаем последовательность неравенств, все более точно определяющих оценку вероятности сверху и снизу:

$P_{1}\quad \geq \quad {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\quad \leq \quad P_{1}-P_{2}$

$P_{1}-P_{2}+P_{3}\quad \geq \quad {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\quad \leq \quad P_{1}-P_{2}+P_{3}-P_{4}$

$\cdots$

Литература

Фролов А. Н. Об оценках для вероятностей комбинаций событий, формуле Жордана и неравенствах Бонферрони // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2. С. 253–264. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.207

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Неравенства Бонферрони», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Неравенства_Бонферрони» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».