Носитель меры

Носитель меры ― наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена мера.

Определение

Пусть $\mu$ есть мера на локально компактном пространстве $X$. Обозначим через $X_{0}$ наибольшее открытое множество, для которого выполняется $\mu (X_{0})=0$. Множество $\operatorname {supp} (\mu )=X\backslash X_{0}$ называется носителем меры $\mu$.

Связанные определения

• Если носитель меры компактен, то мера называется финитной.

В теории вероятностей

В теории вероятностей, носитель вероятностного распределения можно нестрого описать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Есть некоторые тонкости, которые появляются, если рассматривать общие распределения, определённые на сигма-алгебре, а не на топологическом пространстве.

Следующее определение является более формальным. Если $X:\Omega \to \mathbb {R}$ — случайная величина, определенная на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, то носитель $X$ — наименьшее замкнутое множество $R_{X}\subset \mathbb {R}$, для которого $P(X\in R_{X})=1$.

На практике, носитель дискретной случайной величины $X$ часто определяется как множество $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}$, а носитель непрерывной случайной величины $X$ определяется как множество $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}$, где $f_{X}(x)$ — плотность вероятности $X$.

См. также

• Носитель функции