Открытый статистический ансамбль

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск


   Статистическая физика
S = kBLnΩ
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
См. также: Портал:Физика

Открытый статистический ансамбль (ОСА) — отвечает физической системе, которая обменивается энергией с окружающей средой, находясь с ней в тепловом равновесии, обменивается веществом с окружающей средой при заданном химическом потенциале и правильно учитывает поверхностные члены. Выражение для статсуммы этого ансамбля аналогично статсумме большого канонического ансамбля (БКА), с заменой факторов Больцмана в членах ряда на корреляционные функции специального вида. Поверхностные члены, входящие непосредственно в выражения для статистического распределения, позволяют оперировать с поверхностью отталкиваясь от базовых выражений, а не вводить их дополнительно на более поздних стадиях. Коэффициент «поверхностного натяжения», входящий в статсумму, соответствует границе раздела флюида и абсолютно жесткого тела, вследствие строгого соответствия вероятностных и потенциальных ограничений. В отличие от БКА, для ОСА среднее количество частиц в заданном объеме строго совпадает с объемным членом. Также в отличие от БКА, корреляционные функции ОСА строго удовлетворяют требованию трансляционной инвариантности.

Выражение для общего члена распределения имеет вид

[math] p^v_m = \frac{z^m}{m! \Upsilon_v} \sum_{t=0}^\infty \frac{z^t}{t!} \int \left [ \prod_{i = 1}^m \prod_{j = m+1}^{m+t}\psi^v_i\chi^v_j \right ] {\mathcal B}^{(m,t)}_{1...m+t} d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_{m+t}, [/math]

где [math] p^v_m [/math] — вероятность нахождения в объеме [math]v [/math] [math]m [/math] частиц, [math]m \geq 1 [/math], [math]z [/math] — активность, [math]\Upsilon_v [/math] — статсумма ОСА, а интегрирование производится по координатам [math]\boldsymbol{r}_{i} [/math] всех частиц. [math]\psi^v_i [/math] и [math]\chi^v_j = 1 - \psi^v_j [/math] — вырезающие функции, равные единице внутри и вне системы соответственно, а [math]{\mathcal B}^{(m,t)}_{1...m+t} [/math] — факторы частичной локализации, обобщающие факторы Больцмана и факторы Урселла и включающие их в качестве предельных случаев.

Первый член суммы этого выражения соответствует БКА с точностью до нормирующих коэффициентов — статсумм.

Суммируя ряд по [math]t [/math] получим выражение

[math] p^v_m = \frac{1}{m! \Upsilon_v} \int \left [ \prod_{i = 1}^m \psi^v_i \right ] \varrho^{(m)}_{G,1...m}(\chi^v) d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_m, [/math]

где [math]\varrho^{(m)}_{G,1...m} [/math] — корреляционная функция, зависящая от [math]z [/math], [math]\chi^v [/math] и выражающаяся через ряд по [math]{\mathcal B}^{(m,t)}_{1...m+t} [/math]. Последнее выражение эквивалентно распределению БКА с заменой

[math] \varrho^{(m)}_{G,1...m} \approx z^m \exp(-\beta U^{m}_{1...m}) [/math]

и соответствующей перенормировкой, где [math]U^{m}_{1...m} [/math] — [math]m [/math]-частичный потенциал взаимодействия, [math]1/\beta = k_B T [/math], [math]k_B [/math] — постоянная Больцмана, [math]T [/math] — температура. Это выражение говорит о том, что БКА является низкоплотностным приближением ОСА.

Для статсуммы ОСА имеем выражение

[math]\Upsilon_v = \exp { \sum_{t=1}^\infty \frac{z^t}{t!} \int \left [1 - \prod_{i = 1}^{t} \chi^v_i \right ] {\mathcal U}^{(t)}_{1...t} d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_t }, [/math]

в отличие от статсуммы БКА

[math] \Xi_v = \exp { \sum_{t=1}^\infty \frac{z^t}{t!} \int \left [ \prod_{i = 1}^{t} \psi^v_i \right ] {\mathcal U}^{(t)}_{1...t} d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_t }, [/math]

где [math]{\mathcal U}^{(t)}_{1...t} [/math] — факторы Урселла. Сворачивая ряды по активности, для [math]\Upsilon_v [/math] получаем альтернативное представление

[math]\Upsilon_v = \exp{\beta [ vP(z,T) + a\sigma (z,T) ]}, [/math]

где [math]P(z,T) [/math] — давление, [math]\sigma (z,T) [/math] — коэффициент поверхностного натяжения на границе флюида и абсолютно жесткого тела, [math]a [/math] — поверхность, ограничивающая систему.

Следует подчеркнуть, что открытая система ничем не выделена, а поверхностное натяжение обусловлено флуктуационной составляющей статсуммы.

Последнее выражение точно согласуется с вероятностью образования дырки объемом [math]v [/math] во флюиде

[math]p^v_0 = \exp-{\beta [ vP(z,T) + a\sigma (z,T) ]}, [/math]

определяющейся из термодинамических соображений

[math]p^v_0 \propto \exp{( -\beta R_{min})}, [/math]

где [math]R_{min} [/math] — минимальная работа образования подобной флуктуации.

[править] Некоторые свойства ОСА

  • Скейлинг. Открытый статистический ансамбль, в отличие от большого канонического, удовлетворяет требованию масштабной инвариантности, которое заключается в том, что общий член распределения вложенной подсистемы соответствует такому же для исходной системы.
  • Применение к малым системам. ОСА непосредственно применим к системам с размерами вплоть до размера одной молекулы и менее. В этом случае распределение вырождается в распределение Бернулли с [math]p=\varrho v [/math].
  • Разделение флуктуаций. При объемах значительно превышающих размер молекулы среднеквадратичное отклонение числа частиц распадается на объемный и поверхностный члены.

[править] Литература

  • Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble and surface phenomena: arXiv:0911.3106
  • Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble: new properties (scale invariance, application to small systems, meaning of surface particles, etc.): arXiv:1004.0896v1
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты