Открытый статистический ансамбль

Статистическая физика

S = kBLnΩ

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Энионная статистика Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнтальпи-изобарический Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Открытый статистический ансамбль (ОСА) — отвечает физической системе, которая обменивается энергией с окружающей средой, находясь с ней в тепловом равновесии, обменивается веществом с окружающей средой при заданном химическом потенциале и правильно учитывает поверхностные члены. Выражение для статсуммы этого ансамбля аналогично статсумме большого канонического ансамбля (БКА), с заменой факторов Больцмана в членах ряда на корреляционные функции специального вида. Поверхностные члены, входящие непосредственно в выражения для статистического распределения, позволяют оперировать с поверхностью отталкиваясь от базовых выражений, а не вводить их дополнительно на более поздних стадиях. Коэффициент «поверхностного натяжения», входящий в статсумму, соответствует границе раздела флюида и абсолютно жесткого тела, вследствие строгого соответствия вероятностных и потенциальных ограничений. В отличие от БКА, для ОСА среднее количество частиц в заданном объеме строго совпадает с объемным членом. Также в отличие от БКА, корреляционные функции ОСА строго удовлетворяют требованию трансляционной инвариантности.

Выражение для общего члена распределения имеет вид

$p_{m}^{v}={\frac {z^{m}}{m!\Upsilon _{v}}}\sum _{t=0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{t!}}\int \left[\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=m+1}^{m+t}\psi _{i}^{v}\chi _{j}^{v}\right]{\mathcal {B}}_{1...m+t}^{(m,t)}d{\boldsymbol {r}}_{1}...d{\boldsymbol {r}}_{m+t},$

где $p_{m}^{v}$ — вероятность нахождения в объеме $v$ $m$ частиц, $m\geq 1$, $z$ — активность, $\Upsilon _{v}$ — статсумма ОСА, а интегрирование производится по координатам ${\boldsymbol {r}}_{i}$ всех частиц. $\psi _{i}^{v}$ и $\chi _{j}^{v}=1-\psi _{j}^{v}$ — вырезающие функции, равные единице внутри и вне системы соответственно, а ${\mathcal {B}}_{1...m+t}^{(m,t)}$ — факторы частичной локализации, обобщающие факторы Больцмана и факторы Урселла и включающие их в качестве предельных случаев.

Первый член суммы этого выражения соответствует БКА с точностью до нормирующих коэффициентов — статсумм.

Суммируя ряд по $t$ получим выражение

$p_{m}^{v}={\frac {1}{m!\Upsilon _{v}}}\int \left[\prod _{i=1}^{m}\psi _{i}^{v}\right]\varrho _{G,1...m}^{(m)}(\chi ^{v})d{\boldsymbol {r}}_{1}...d{\boldsymbol {r}}_{m},$

где $\varrho _{G,1...m}^{(m)}$ — корреляционная функция, зависящая от $z$, $\chi ^{v}$ и выражающаяся через ряд по ${\mathcal {B}}_{1...m+t}^{(m,t)}$. Последнее выражение эквивалентно распределению БКА с заменой

$\varrho _{G,1...m}^{(m)}\approx z^{m}\exp(-\beta U_{1...m}^{m})$

и соответствующей перенормировкой, где $U_{1...m}^{m}$ — $m$-частичный потенциал взаимодействия, $1/\beta =k_{B}T$, $k_{B}$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура. Это выражение говорит о том, что БКА является низкоплотностным приближением ОСА.

Для статсуммы ОСА имеем выражение

$\Upsilon _{v}=\exp {\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {z^{t}}{t!}}\int \left[1-\prod _{i=1}^{t}\chi _{i}^{v}\right]{\mathcal {U}}_{1...t}^{(t)}d{\boldsymbol {r}}_{1}...d{\boldsymbol {r}}_{t}},$

в отличие от статсуммы БКА

$\Xi _{v}=\exp {\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {z^{t}}{t!}}\int \left[\prod _{i=1}^{t}\psi _{i}^{v}\right]{\mathcal {U}}_{1...t}^{(t)}d{\boldsymbol {r}}_{1}...d{\boldsymbol {r}}_{t}},$

где ${\mathcal {U}}_{1...t}^{(t)}$ — факторы Урселла. Сворачивая ряды по активности, для $\Upsilon _{v}$ получаем альтернативное представление

$\Upsilon _{v}=\exp {\beta [vP(z,T)+a\sigma (z,T)]},$

где $P(z,T)$ — давление, $\sigma (z,T)$ — коэффициент поверхностного натяжения на границе флюида и абсолютно жесткого тела, $a$ — поверхность, ограничивающая систему.

Следует подчеркнуть, что открытая система ничем не выделена, а поверхностное натяжение обусловлено флуктуационной составляющей статсуммы.

Последнее выражение точно согласуется с вероятностью образования дырки объемом $v$ во флюиде

$p_{0}^{v}=\exp -{\beta [vP(z,T)+a\sigma (z,T)]},$

определяющейся из термодинамических соображений

$p_{0}^{v}\propto \exp {(-\beta R_{min})},$

где $R_{min}$ — минимальная работа образования подобной флуктуации.

Некоторые свойства ОСА

• Скейлинг. Открытый статистический ансамбль, в отличие от большого канонического, удовлетворяет требованию масштабной инвариантности, которое заключается в том, что общий член распределения вложенной подсистемы соответствует такому же для исходной системы.

• Применение к малым системам. ОСА непосредственно применим к системам с размерами вплоть до размера одной молекулы и менее. В этом случае распределение вырождается в распределение Бернулли с $p=\varrho v$.

• Разделение флуктуаций. При объемах значительно превышающих размер молекулы среднеквадратичное отклонение числа частиц распадается на объемный и поверхностный члены.

Литература

• Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble and surface phenomena: arXiv:0911.3106
• Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble: new properties (scale invariance, application to small systems, meaning of surface particles, etc.): arXiv:1004.0896v1