Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Изучив понятие производной, можно расширить возможности по исследованию функций.

Нахождение интервалов монотонности функции

Если $f'(x)>0$ во всех точках некоторого интервала, то функция на нём возрастает, а если $f'(x)<0$ во всех точках интервала, то функция на нём убывает.

Необходимое условие экстремума

Если функция $f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то $f'(x_{0})=0$, либо не существует.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками этой функции. Все точки экстремума функции являются её критическими точками, но не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критическими.

Достаточные условия экстремума

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $X$ и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку $x=x_{0}$. Тогда:

1. если у этой точки существует такая окрестность, в которой при $x<x_{0}$ выполняется неравенство $f'(x)<0$, а при $x>x_{0}$ — неравенство $f'(x)>0$, то $x=x_{0}$ — точка локального минимума функции $y=f(x)$;
2. если у этой точки существует такая окрестность, в которой при $x<x_{0}$ выполняется неравенство $f'(x)>0$, а при $x>x_{0}$ — неравенство $f'(x)<0$, то $x=x_{0}$ — точка локального максимума функции $y=f(x)$;
3. если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки $x_{0}$ знаки производной одинаковы, то в точке $x=x_{0}$ экстремума нет.

Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке $[a;b]$ функции, достаточно вычислить значение этой функции в концевых точках и всех критических точках интервала $(a;b)$ и из полученного набора значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Порядок исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти производную $f'(x)$.
2. Найти стационарные ($f'(x)=0$) и критические ($f'(x)$ не существует) точки функции $f(x)$.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой, определить знаки производной на полученных интервалах.
4. На основании необходимых и достаточных условий экстремума сделать выводы о монотонности функции и точках её экстремума.

Пример

Требуется найти наибольшее значение функции $y=59x+56\sin x+42$ на отрезке $[{-{\frac {\pi }{2}}};0]$.

Решение:

Найдём производную заданной функции:

$y'=59-56\cos x$

Так как косинус $cosx\leqslant 1$ при любых значениях аргумента, то:

$y'\geqslant 1$ при всех $x$.

В таком случае, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой, а следовательно, наибольшее значение она принимает в крайней правой точке заданного отрезка, то есть в точке 0.

Найдём значение функции при $x=0$:

$y(0)=59\cdot 0+56\cdot \sin 0+42=42$.

Ответ: 42.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Применение производной к исследованию функций и построению графиков», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Применение_производной_к_исследованию_функций_и_построению_графиков» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».