Степень с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем — это математическая операция, которая позволяет возвести число в степень, где показатель является рациональным числом.

Каждое рациональное число можно записать в виде дроби ${\frac {k}{n}}$, где знаменатель $n$ — натуральное число, а числитель $k$ — целое число.

Определение

Выражение $a^{\tfrac {m}{n}}$, где $a>0$, означает корень, показатель которого равен знаменателю $n$ дроби ${\frac {m}{n}}$, а показатель степени подкоренного числа равен числителю $m$ дроби ${\frac {m}{n}}$, т.е. $a^{\tfrac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$.

Виды степени с рациональным показателем

Степенью положительного числа $a$ $(a>0)$ с рациональным показателем $s={\frac {k}{n}}$, $n\in N(n>1)$, $k\in Z$, называется число ${\sqrt[{n}]{a^{k}}}$, то есть $a^{s}=a^{\tfrac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}$, причём $a^{0}=1$.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

$0^{\tfrac {a}{b}}=0$, $a\in N$, $b\in N$.

Важно учесть, что основание дроби не может быть отрицательным числом, а показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным.

Если ${\frac {p}{k}}$ — обыкновенная дробь, где $q\neq 1$ и $a>0$, то под $a^{\tfrac {-p}{k}}$ понимают ${\frac {1}{a^{\tfrac {p}{k}}}}$, т. е. $a^{\tfrac {-p}{k}}={\frac {1}{a^{\tfrac {p}{k}}}}$.

Нахождение степени с рациональным показателем

Для того, чтобы найти значение степени с рациональным показателем нужно преобразовать искомое значение в уравнение вида $x=y^{\tfrac {b}{c}}$ и решить его.

Например, нужно найти значение степени $3^{\tfrac {2}{b}}$. Тогда обозначим через $x$ искомое значение, то есть $x=3^{\tfrac {2}{b}}$. Выполнив тождественное преобразование, возведя обе части полученного равенства в пятую степень, получим:

$x^{5}=(3^{\tfrac {2}{b}})^{5}$,

$x^{5}=3^{2}$.

Согласно определению корня $n$-ой степени, имеем: $x={\sqrt[{5}]{3^{2}}}$. Таким образом, получили, что $3^{\tfrac {2}{b}}={\sqrt[{5}]{3^{2}}}$.

Свойства степени с рациональным показателем

Произведение степеней с одинаковым основанием

К степеням с одинаковым основанием может применяться действие математического умножения множителей.

$a^{s}\cdot a^{p}=a^{s+p}$.

Частное степеней с одинаковым основанием

К степеням с одинаковым основанием может применяться действие математического деления частного.

$a^{s}\div a^{p}=a^{s-p}$.

Возведение степени с рациональным показателем в степень

Для возведения степени с рациональным показателем в степень применяется действие умножения показателей данных степеней.

$(a^{s})^{p}=a^{s\cdot p}$.

Произведение оснований с одинаковой степенью

Степень, имеющая рациональный показатель над произведением пары чисел больше нуля, равна произведению степеней данных множителей.

$(a\cdot b)^{s}=a^{s}\cdot b^{s}$.

Частное оснований с одинаковой степенью

Степень, имеющая рациональный показатель над частным пары чисел больше нуля, равна частному степеней данных чисел.

$({\frac {a}{b}})^{s}={\frac {a^{s}}{b^{s}}}$.

См. также

• Рациональное число
• Корень числа
• Дробь

Литература

• Юсупов О. Ш. Анализ основных свойств решения степени с рациональным показателем // Достижения науки и образования. 2018.
• Яремко Н. Н., Глебова М. В. Корректность определения степени действительного числа с рациональным показателем // Наука и школа. 2020. №2. с. 165—175.

Ссылки

• Понятие степени с рациональным показателем

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Рувики» («Багопедия», «ruwiki.ru») под названием «Степень с рациональным показателем», находящаяся по адресу: «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Степень_с_рациональным_показателем» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»