Сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел

Сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных нечётных натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$n_{1}$ — номер первого текущего нечётного числа, $n_{1}\geq 1$;

$a_{i}$ — $i$-ое слагаемое, $a_{i}={\frac {1}{(2n_{1}+2i-3)(2n_{1}+2i-1)}}$;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$.

Формула

$S_{n}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}\Leftrightarrow {\frac {1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+1)}}+{\frac {1}{(2n_{1}+1)(2n_{1}+3)}}+\ldots +{\frac {1}{(2n_{1}+2n-3)(2n_{1}+2n-1)}}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{(2n_{1}+2i-3)(2n_{1}+2i-1)}}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}$.

Доказательство 1

1. Проверяем формулу $S_{k}$ при $k=1.\ S_{1}={\frac {1}{(2n_{1}+2{\text{·}}1-3)(2n_{1}+2{\text{·}}1-1)}}={\frac {1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+1)}}$ и $S_{1}={\frac {1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2{\text{·}}1-1)}}={\frac {1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+1)}}$, очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула $S_{k}$ верна при $k=n$, и доказываем формулу для $k=n+1$.

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}+{\frac {1}{[2n_{1}+2(n+1)-3][2n_{1}+2(n+1)-1])}}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}+{\frac {1}{(2n_{1}+2n-1)(2n_{1}+2n+1)}}=$

$={\frac {n(2n_{1}+2n+1)+(2n_{1}-1)}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)(2n_{1}+2n+1)}}={\frac {n(2n_{1}+2n-1)+(2n_{1}+2n-1)}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)(2n_{1}+2n+1)}}={\frac {(n+1)(2n_{1}+2n-1)}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)(2n_{1}+2n+1)}}=$

$={\frac {n+1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n+1)}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {n+1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n+1)}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {n+1}{(2n_{1}-1)[2n_{1}+2(n+1)-1]}}$, то есть формула верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n + 1} , ч.т.д.

Доказательство 2

$S_{n}={\frac {1}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+1)}}+{\frac {1}{(2n_{1}+1)(2n_{1}+3)}}+\ldots +{\frac {1}{(2n_{1}+2n-3)(2n_{1}+2n-1)}}=$

$=\left({\frac {1/2}{2n_{1}-1}}-{\frac {1/2}{2n_{1}+1}}\right)+\left({\frac {1/2}{2n_{1}+1}}-{\frac {1/2}{2n_{1}+3}}\right)+\ldots +\left({\frac {1/2}{2n_{1}+2n-3}}-{\frac {1/2}{2n_{1}+2n-1}}\right)={\frac {1/2}{2n_{1}-1}}-{\frac {1/2}{2n_{1}+2n-1}}=$

$={\frac {(2n_{1}+2n-1)/2-(2n_{1}-1)/2}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}={\frac {(n_{1}+n-1/2)-(n_{1}-1/2)}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {n}{(2n_{1}-1)(2n_{1}+2n-1)}}$, ч.т.д.

Следствия

n₁=1

$S_{n}={\frac {n}{2n+1}}\Leftrightarrow {\frac {1}{1{\text{·}}3}}+{\frac {1}{3{\text{·}}5}}+\ldots +{\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {n}{2n+1}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{(2i-1)(2i+1)}}={\frac {n}{2n+1}}$.

n₁=2

$S_{n}={\frac {n}{3(2n+3)}}\Leftrightarrow {\frac {1}{3{\text{·}}5}}+{\frac {1}{5{\text{·}}7}}+\ldots +{\frac {1}{(2n+1)(2n+3)}}={\frac {n}{3(2n+3)}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{(2i+1)(2i+3)}}={\frac {n}{3(2n+3)}}$.

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.