Сумма геометрической прогрессии

Сумма геометрической прогрессии — это конечная сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$b_{1}$ — первый член геометрической прогрессии;

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, $q\neq 1$ ;

$b_{i}$ — $i$ -ый член геометрической прогрессии, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_i=b_{i-1}q =b_1q^{i-1},i>1}  ;

$S_{n}$ — сумма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} первых слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n=\sum\limits_{i=1}^nb_i} .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow b_1+b_1q^1+\ldots+b_1q^{n-1}=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow\sum\limits_{i=1}^n b_1q^{i-1}=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}} .

Доказательство

Метод математической индукции для суммы геометрической прогрессии

Следствия

b₁=1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow 1+q^1+\ldots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow\sum\limits_{i=1}^n q^{i-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow S_n=\frac{q^n-1}{q-1}} .

b₁=q

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=q\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow q+q^2+\ldots+q^{n}=q\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow\sum\limits_{i=1}^n q^{i}=q\frac{1-q^n}{1-q}\Leftrightarrow S_n=q\frac{q^n-1}{q-1}} .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.