Теория функциональных связей

Теория функциональных связей (ТФС) — математическая основа, разработанная для функциональной интерполяции.

Представляет метод получения функционала (функции, которая действует на другую функцию), позволяющий преобразовывать оптимизационные задачи с заданными ограничениями в соответствующие оптимизационные задачи без заданных ограничений. Данное преобразование позволяет применять ТФС для решения различных математических задач, в том числе для решения дифференциальных уравнений. Функциональная интерполяция, в данном контексте, означает построение функционалов, которые всегда удовлетворяют заданным ограничениям, независимо от выражения внутренней (свободной) функции.

От интерполяции к функциональной интерполяции

Для того чтобы представить ТФС в общем виде, рассмотрим типовую задачу интерполяции с $n$ ограничениями, например, дифференциальное уравнение, удовлетворяющее краевым условиям (краевая или граничная задача). Независимо от дифференциального уравнения, данные ограничения могут быть совместимыми или несовместимыми. Например, в задачедля области ${\mathcal {D}}:(0,1)\cup (0,1)$, заданные ограничения $f_{1}(x,0)=1+x$ и $f_{2}(0,y)=2-y$ являются несовместимыми, поскольку дают разные значения в общей точке $(0,0)$ . Если $n$ ограничения являются совместимыми, то функция, интерполирующая эти ограничения, может быть построена путем выбора $n$ линейно независимых опорных функций, например одночленов, $\{1,x,x^{2},\cdots ,x^{n-1}\}$. Множество выбранных опорных функций может быть совместимыми или несовместимыми с заданными ограничениями. Например, ограничения $y(-1)=y(+1)=0$ и ${\dfrac {dy}{dx}}{\bigg |}_{x=0}=1$ являются несовместимыми с опорными функциями $\{1,x,x^{2}\}$, в чем можно легко убедиться. Если опорные функции совместимы с ограничениями, то задача интерполяции может быть решена, в результате чего будет получен интерполянт – функция, удовлетворяющая всем ограничениям. Выбор другого множества опорных функций приведет к получению другого интерполянта. Когда задача интерполяции решена и начальный интерполянт определен, все возможные интерполянты, теоретически, могут быть получены путем интерполяции с каждым отдельным множеством линейно независимых опорных функций, совместимых с ограничениями. Однако этот метод непрактичен, поскольку число возможных множеств опорных функций бесконечно.

Эта сложная задача была решена благодаря разработке ТФС – аналитической схемы для выполнения функциональной интерполяции, представленной Даниэле Мортари в Техасском университете A&M. Данный подход предполагает построение функционала $f{\big (}\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ){\big )}$, который удовлетворяет заданным ограничениям для любого произвольного выражения $g(\mathbf {x} )$, называемого свободной функцией .Такой функционал, получивший название ограниченного функционала, обеспечивает полное представление всех возможных интерполянтов. Изменяя $g(\mathbf {x} )$, можно получить все множество интерполянтов, включая разрывные или частично заданные интерполянты.

Схема интерполирования функций и функциональной интерполяции

При интерполировании функций выводится одна интерполирующая функция, а при функциональной интерполяции – семейство интерполирующих функций, представленных в виде функционала. Этот функционал определяет подпространство функций, которые по своей сути удовлетворяют заданным ограничительным условиям, эффективно сокращая пространство решений до области, в которой находятся решения задачи условной оптимизации. Используя данные функционалы, задачи условной оптимизации можно переформулировать в задачи без ограничений. Такая интерпретация позволяет использовать более простые и эффективные методы для решения задач, повышая точность, устойчивость и надежность. В этом контексте теория функциональных связей (ТФС) обеспечивает систематическую основу для преобразования задач условной оптимизации в задачи без ограничений, тем самым упрощая процесс решения.

ТФС рассматривает одномерные ограничения, включающие точки, производные, интегралы и любые их линейные комбинации. Теория также распространяется на бесконечные и многомерные ограничения и применяется к решению обыкновенных уравнений, уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений. Проблема совместности, относящаяся к ограничительным условиям, интерполяции и функциональной интерполяции, всесторонне рассмотрена в . Сюда относятся проблемы совместности, связанные с краевыми условиями, включающими производные смещения и смешанные производные.

Одномерная модель ТФС может быть выражена в одной из следующих двух форм:

${\begin{cases}f{\big (}x,g(x){\big )}=g(x)+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\eta _{j}{\big (}x,g(x){\big )}\,s_{j}(x)\\f{\big (}x,g(x){\big )}=g(x)+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\phi _{j}{\big (}x,\mathbf {s} (x){\big )}\,\rho _{j}{\big (}x,g(x){\big )},\end{cases}}$

где $n$ представляет собой количество линейных ограничений, $g(x)$ — свободная функция, а $s_{j}(x)$ это $n$ заданных линейно независимых опорных функций. Условия $\eta _{j}(x,g(x))$ - коэффициентные функционалы, $\phi _{j}(x)$ - функции переключения (которые принимают значение 1 при оценке соответствующего ограничения и 0 при других ограничениях), а $\rho _{j}{\big (}x,g(x){\big )}$ - проекционные функционалы, выражающие ограничения в виде свободной функции.

Пример рациональной функции

Чтобы продемонстрировать, как ТФС обобщает интерполяцию, рассмотрим ограничения ${\dot {y}}(x_{1})={\dot {y}}_{1}$ и ${\dot {y}}(x_{2})={\dot {y}}_{2}$ . Интерполирующей функцией, удовлетворяющей этим ограничениям, является,

$f_{a}(x)={\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{1}+{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{2}.$

Благодаря этому свойству интерполяции производная функции

$\delta (x)=g(x)-{\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{1})-{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{2}),$

обращается в ноль в $x_{1}$ и $x_{2}$ для функции $g(x)$ . Так, добавив $\delta (x)$ к $f_{a}(x)$, получаем функционал, который по-прежнему удовлетворяет заданным ограничениям

$f{\big (}x,g(x){\big )}=f_{a}(x)+\delta (x)={\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{1}+{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{2}+g(x)-{\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{1})-{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{2}),$

независимо от значения  $g(x)$. Благодаря этому свойству данный функционал называют функционалом с ограничениями. Необходимое условие для выполнения функционала $f{\big (}x,g(x){\big )}$ – это четкое определение условий ${\dot {g}}(x_{1})$ и ${\dot {g}}(x_{2})$. Как только это условие будет выполнено, функционал $f{\big (}x,g(x){\big )}$ может принимать любые произвольные значения, выходящие за рамки заданных ограничений, благодаря бесконечной гибкости, обеспечиваемой $g(x)$ . Важно отметить, что такая гибкость значений не сводится к конкретным ограничениям, указанным в данном примере. Напротив, она универсально применима к любому множеству ограничений. Универсальность ТФС наглядно демонстрирует, как выполняется функциональная интерполяция в рамках данного подхода, когда строится функция, которая удовлетворяет заданным ограничениям, при этом за счет выбора $g(x)$ обеспечивается абсолютная свобода действия функции в других значениях. Фактически, данный пример показывает, что ограниченный функционал $f{\big (}x,g(x){\big )}$ охватывает все возможные функции, которые удовлетворяют заданным ограничениям, доказывая эффективность и универсальность ТФС в решении множества задач интерполяции.

Области применения ТФС

Теория была дополнена и используется в различных областях применения, в том числе для решении задач с производными смещения и смешанными производными, для анализа фракционных операторов, для определения геодезических линий в искривленных пространствах в краевых задачах, а также в методах продолжения. Кроме того, ТФС применяется для решения задач непрямого оптимального управления, моделирования жестких задач химической кинетики, и изучения эпидемиологической динамики. ТФС применима и в астродинамике, где с ее помощью эффективно решается задача Ламберта. Теория также подтвердила свой потенциал при решении задач нелинейного программирования , структурной механики и радиационного переноса , а также в других областях. Эффективный бесплатный инструментарий ТФС на языке Python доступен на сайте https://github.com/leakec/tfc .

Особого внимания заслуживает применение ТФС в нейронных сетях, где она показала свою исключительную эффективность, особенно при решении задач высокой размерности и повышении производительности нейронные сети с физическими данными за счет эффективного устранения ограничений в процессе оптимизации, с чем традиционные нейронные сети часто не справляются. Эта возможность значительно повышает эффективность и точность вычислений, упрощая решение сложных задач. ТФС применяется вместе с нейронными сетями, учитывающими физические особенности, и методами символьной регрессии для выявления физики динамических систем .

Отличие от спектральных методов

На первый взгляд, TFC и спектральные методы могут показаться схожими в своем подходе к решению задач оптимизации с ограничениями . Однако между ними существуют два принципиальных различия:

• Представление решений: Спектральные методы представляют решение как сумму базисных функций, в то время как ТФС представляет свободную функцию как сумму базисных функций. Это различие позволяет ТФС аналитически удовлетворять ограничениям, в то время как спектральные методы рассматривают ограничения как дополнительные данные, приближенно определяя их с точностью, зависящей от невязок.
• Вычислительный подход в решении краевых задач: в линейных краевых задачах вычислительные стратегии двух методов существенно различаются. Спектральные методы обычно используют итерационные техники, такие как метод пристрелки, чтобы преобразовать краевую задачу в задачу с начальным значением, которую проще решить. Напротив, ТФС напрямую решает эти задачи с помощью линейных методов наименьших квадратов, избегая необходимости в итерационных методах.

Оба метода могут проводить оптимизацию, используя либо метод Галеркина, который обеспечивает ортогональность остаточного вектора к выбранным базисным функциям, либо метод коллокации, который минимизирует норму вектора невязок.

Отличие от метода множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа — это широко используемый подход для введения ограничений в оптимизационную задачу. Этот метод вводит дополнительные переменные, называемые множителями, которые необходимо вычислить, чтобы выполнить ограничения. В то время как вычисление этих множителей в одних случаях является простым, в других оно может быть сложным или даже практически невыполнимым, что значительно усложняет задачу. В свою очередь, ТФС не вводит новых переменных и позволяет выводить функционалы с ограничениями, не сталкиваясь с непреодолимыми трудностями. Однако важно отметить, что метод множителей Лагранжа имеет преимущество в обработке ограничений в виде неравенств, что не позволяет реализовать ТФС.

Существенным ограничением обоих подходов считается тенденция к нахождению решений, соответствующих локальным, а не гарантированным глобальным оптимумам, особенно в контексте невыпуклых задач. Следовательно, для оценки и подтверждения качества и достоверности полученного решения могут потребоваться дополнительные процедуры проверки или альтернативные методы. Таким образом, хотя ТФС и не заменяет полностью метод множителей Лагранжа, она служит эффективной альтернативой в случаях, когда вычисление множителей становится чрезмерно сложным или невыполнимым, при условии, что ограничения сведены к равенствам.