Уравнение Дирака

Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона.

Предложено Полем Дираком.

Эйнштейн высказывался, что он перестал понимать физику после этого уравнения.

Формулировки

Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия в формулировке Дирака: «Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при $\hbar \rightarrow 0$, сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях одним и тем же законам.»

В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение

$E^{2}=p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Его можно, разделив на $E$ обе стороны, преобразовать к следующему виду

$E={\frac {v_{1}}{c}}p_{1}c+{\frac {v_{2}}{c}}p_{2}c+{\frac {v_{3}}{c}}p_{3}c+{\frac {v_{0}}{c}}m\,c^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

где величина $v_{0}={\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$ , а $v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$ ;

В самом деле, ${\frac {p_{1}c}{E}}={\frac {mv_{1}c(c/v_{0})}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{1}}{c}}\,$ и т. д., а также ${\frac {mc^{2}}{E}}={\frac {mc^{2}}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{0}}{c}}\,$;

Здесь соотношение (1) следует считать не условием об обозначениях (означает, что записи $E^{2}$ и $p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ имеют один и тот же смысл). Соотношение (1) рассматривается как настоящее (содержательное) равенство, указывающее связь между $E(v)$, $p(v)$ и независимой переменной $v$.

Чтобы вернуться к исходному уравнению (1) (как бы "возвести в квадрат"), нужно уравнение (2) умножить на $E$ с обеих сторон.

Уравнение Дирака (в отсутствие электромагнитного поля) имеет вид

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

где $\alpha _{j}$ — матрицы, $(j=0,1,2,3,)$. Из принципа соответствия между уравнениями (2) и (3) следует, что $v_{j}/c=\alpha _{j}$ или $v_{j}=c\alpha _{j}$.

В квантовой механике показано (явление Zitterbewegung), что релятивистский оператор скорости $v_{\nu }=dx_{\nu }/dt;(\nu =1,2,3)$ ; имеет вид $v_{\nu }=c\alpha _{\nu }$, то есть является матричным оператором .

Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$

где $H$ — оператор Гамильтона

$H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}$

Так как $x_{\nu }$ — оператор координаты — не зависит явно от времени, то $dx_{\nu }/dt=[H,x_{\nu }]$. Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]$

Матрица $\alpha _{\mu }$ коммутирует с $x_{\nu }$, поэтому матричный оператор можно вынести за скобки.

$dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }$

Собственные значения матричного оператора скорости равны $\pm c$, но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше $c$.

В теории Дирака компоненты 4-скорости $v_{j}$ и соответствующие координаты $x_{j}$ подчиняются алгебре Клиффорда, т.е. антикоммутируют.