Формула Ленгмюра

Фо́рмула Ленгмю́ра — аналитическая зависимость электрического тока от разности потенциалов между анодом и катодом в вакууме.

Физические основы

Рис. 1. Графическое представление формулы Ленгмюра (закона трёх вторых)

Рис. 2. Границы применимости закона трёх вторых (формулы Ленгмюра)

Если в вакууме расположить два электрода и создать между ними разность потенциалов, то в результате термоэлектронной или электронной эмиссии между ними может протекать электрический ток. Формула Ленгмюра применима с некоторыми изменениями и к ионному току в вакууме. В отличие от обычных проводников, в межэлектродном пространстве в вакууме создаётся поле пространственного заряда, возникающее благодаря электронам, вылетевшими из катода, а те электроны, которые покидают катод позже, этим полем тормозятся.

Вид формулы Ленгмюра изменяется в зависимости от геометрической формы электродов, катода и анода, а также конфигурации окружающего их пространства. Однако, суть формулы Ленгмюра состоит в том, что зависимость силы тока от приложенного напряжения пропорционально степени $I\thicksim U^{3/2}$.

Графическая зависимость формулы Ленгмюра (закона трёх вторых) показана на рисунке 1.

В 1911 году американский физик К. Чайлд вывел аналитическую зависимость тока электронов между электродами в вакууме в предположении, что их начальная скорость вылета из катода равна нулю, а электроды представляют собой бесконечные параллельные плоскости, расположенные на расстоянии $d$ друг от друга. Формула Ленгмюра, иначе называемая законом трёх вторых, описывает зависимость силы тока от потенциала между анодом и катодом, расположенными в вакууме, с учётом пространственного заряда между этими электродами, создаваемого электронами или другими заряженными частицами. Механизм прохождения тока в вакууме и возникновение пространственного заряда объясняется тем, что в результате электронной (или ионной), термоэлектронной (или другого типа) эмиссии электроны покидают катод и направляются в сторону анода под действием электрического поля. Однако этому процессу препятствует наличие электронов между анодом и катодом, создающим собственный локальный объёмный пространственный заряд (электронное облако). Размеры и форма электронного облака зависят от конкретной конфигурации системы электродов, величины электрического потенциала между электродами и обильности эмиссии носителей заряда из катода. В простейших случаях было экспериментально установлено, что ток $I$ между катодом и анодом пропорционален приложенному напряжению $U$ в степени 3/2:

$I\sim U^{\frac {3}{2}}$, или, более точно:

$I={\frac {1}{9\pi }}{\Biggl (}{\frac {2e}{m}}{\Biggl )}^{\frac {1}{2}}{\frac {U^{\frac {3}{2}}}{d^{2}}}$,

где $e$ — заряд электрона, $m$ — масса электрона, $d$ — расстояние между катодом и анодом.

Аналитически подтверждение этому экспериментальному факту было выполнено Клементом Чайлдом в 1911 году в предположении бесконечных электродов и нулевой начальной скорости электронов, покидающих катод в результате электронной эмиссии. В 1913 году И. Ленгмюром была получена более точные формулы для разных конфигураций электродов. Так, для цилиндрических электродов было получено:

$I_{c}={\frac {2}{9\pi }}{\Biggl (}{\frac {2e}{m}}{\Biggl )}^{\frac {1}{2}}{\frac {U^{\frac {3}{2}}}{r\beta ^{2}}}$,

где была $I_{c}$ — «погонная» сила тока, то есть сила тока на единицу длины цилиндра, $r$ — радиус внешнего цилиндра (анода), а $\beta$ — функция отношения радиусов внешнего и внутреннего цилиндров.

Ленгмюр вывел похожую формулу для сферических электродов (сфер), введя функцию отношения радиусов внешней и внутренней сфер $\rho$:

$I_{s}={\frac {4}{9}}{\Biggl (}{\frac {2e}{m}}{\Biggl )}^{\frac {1}{2}}{\frac {U^{\frac {3}{2}}}{\rho ^{2}}}$,

где $I_{s}$ — ток электронов в вакууме в случае сферических электродов (катодом выступала меньшая, внутренняя сфера).

В наиболее общем виде формула Ленгмюра может быть представлена в виде:

$I_{L}=GU^{\frac {3}{2}}$,

где $I_{L}$ — ток Ленгмюра, $G$ — коэффициент, зависящий от конфигурации электродов и окружающего их пространства; этот коэффициент для вакуумных диодов называют первеансом.

Границы применимости закона трёх вторых показаны на рисунке 2.

Рис. 1. Графическое представление формулы Ленгмюра

Рис. 2. Границы применимости формулы Ленгмюра

Границы применимости

Формула Ленгмюра применима не во всех диапазонах приложенного напряжения и действует не для всех частот. При нулевом напряжении между электродами ток между ними отличен от нуля. Это явление называется «эффектом Эдисона». Полностью прекратить ток между электродами в реальных вакуумных диодах удаётся только при подаче отрицательного, запирающего напряжения на электрод (порядка нескольких вольт), см. рисунок 2. В области средних напряжений (т. н. режим пространственного заряда) формула Ленгмюра работает хорошо, а далее, в области насыщения тока, снова наблюдаются отклонения экспериментальных данных от следствий теоретической модели. Это связано с увеличением температуры катода и, как следствие, увеличение темпа термоэлектронной эмиссии. При переходе в режим насыщения начинает действовать эффект Шоттки, при котором работа выхода электрона уменьшается при дальнейшем увеличении напряжённости электрического поля.

Литература

• Храмов Ю. А. Ленгмюр Ирвинг (Langmuir Irving) // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и доп. — М. : Наука, 1983. — С. 161. — 400 с. — 200 000 экз.
• Батушев, В. А. Электронные приборы. — Москва: Высшая школа, 1969. — 608 с. — 90,000 экз.
• Дулин В. Н., Аваев Н. А., Дёмин В. П. и др. Электронные приборы / Под ред. Г. Г. Шишкина.. — Москва: Энергоатомиздат, 1989. — 496 с. — ISBN 5-283-01472-X.
• Добрецов Л. Н. Электронная и ионная эмиссия. — Москва, Л.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1952. — 312 с.
• Иориш, А. Е., Кацман, Я. А., Птицын, С. В. Основы технологии производства электровакуумных приборов. — Москва, Л.: Госэнергоиздат, 1961. — 516 с. — 14,000 экз.
• Рейх, Г. Дж. Теория и применение электронных приборов. — Л.: Госэнергоиздат, 1948. — 940 с. — 7,000 экз.
  • перевод с англ. Reich, Herbert J. Theory and applications of electron tubes. — 2-nd ed. — McGraw-Hill Book Company, Inc, 1944. — 716 с.
• Грановский В. Л. Электрический ток в газе. — Москва : Наука, 1971.
• Мойжес Б. Я., Пикус Г. Е. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плазма. — Москва : Наука, 1973.
• Яшин М. С., Онуфриев В. В. Высокотемпературный термоэмиссионный преобразователь с пониженным давлением паров цезия и сверхвысокотемпературным составным коллектором // Инженерный журнал: наука и инновации. — 2020. — № 4 (100).
• Гусев Ю. П., Шёлковой Е. В. Сопротивление низковольтной электрической дуги для расчёта коротких замыканий в расширенном диапазоне токов // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. — 2018. — № 6.
• Капцов Н. А. Коронный разряд и его применение в электрофильтрах. — Москва, Ленинград : Гостехиздат, 1947.
• Левитов В. И. Корона переменного тока. Вопросы теории, методов исследования и практических характеристик — Москва : Энергия, 1975.
• Райзер Ю. П. Физика газового разряда. — Москва : Наука, 1992.
• Соколова М. В. Коронный разряд в газах // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Т. 2 — Москва : Наука, 2000.
• Кечиев Л. Н., Пожидаев Е. Д. Защита электронных средств от воздействия статического электричества. — Москва : Изд. дом «Технологии», 2005.

Ссылки

• Формула Ленгмюра

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Формула Ленгмюра», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Формула_Ленгмюра» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».