Число Евклида
В математике числа Евклида — это числа вида En = pn # + 1, где pn # — n-й примориал (произведение первых n простых чисел). Они названы в честь древнегреческого математика Евклида в связи с теоремой Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел.
Евклидово число второго рода (также называемое числом Куммера) — это число вида En = pn# − 1', где pn# — n-й примориал.
Примеры[править]
Например, первые три простых числа — 2, 3, 5; Их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида равно 31.
Первые несколько чисел Евклида: 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... последовательность A006862 в OEIS.
Первые несколько чисел Куммера: 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... последовательность A057588 в OEIS.
История[править]
Иногда ошибочно утверждается, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел основывалась на этих числах.[1] Евклид не исходил из предположения, что множество всех простых чисел конечно. Скорее, он сказал: рассмотрим любое конечное множество простых чисел (он не предполагал, что оно содержит только первые «n» простых чисел) и, исходя из этого, пришел к выводу, что существует по крайней мере одно простое число, которого нет в этом множестве.[2] Тем не менее, аргумент Евклида, примененный к множеству первых «n» простых чисел, показывает, что n-е число Евклида имеет простой множитель, которого нет в этом множестве.
Свойства[править]
Не все числа Евклида или Куммера являются простыми.
E6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 — первое составное число Евклида, а E4 = 7# − 1 = 209 = 11 × 19 — первое составное число Куммера.
Для всех n ≥ 3 последняя цифра числа En равна 1, поскольку En − 1 делится на 2 и 5. Другими словами, поскольку все примориалы больше E2 имеют 2 и 5 в качестве простых множителей, они делятся на 10, следовательно, все числа En ≥ 3 + 1 имеют последнюю цифру 1. Аналогично, последняя цифра каждого числа Куммера равна 9.
Ни одно число Евклида или Куммера не является совершенной степенью.
Нерешенные проблемы[править]
Неизвестно, существует ли бесконечное число простых чисел Евклида[3] или простых чисел Куммера.[4] Также неизвестно, является ли каждое число Евклида бесквадратным числом.[5]
См. также[править]
- Доказательство бесконечности простых чисел (теорема Евклида)
Ссылки[править]
- ↑ Майкл Харди и Кэтрин Вудголд, «Простота простых чисел», «Математический интеллект», том 31, номер 4, осень 2009 г., страницы 44–52.
- ↑ Предложение 20.
- ↑ последовательность A006862 в OEIS
- ↑ последовательность A125549 в OEIS
- ↑ Варди Илан Вычислительные развлечения в математике. — Addison-Wesley, 1991. — P. 82–89. — ISBN 9780201529890.
 Классы простых чисел ↑ | |
|---|---|
| По формуле |
|
| Последовательности | |
| По свойствам | |
| Зависящие от системы счисления | |
| Модели |
|
| По размеру |
|
| Комплексные числа | |
| Составные числа | |
| Связанные разделы | |