Греческие обозначения
В математической финансовой теории «гре́ки» — это количественные показатели (в математическом анализе — частные производные первого порядка и выше) чувствительности цены производного финансового инструмента (такого, как опцион) к изменениям одного или нескольких базовых параметров, определяющих стоимость инструмента или портфеля финансовых инструментов. Как и в случае некоторых других финансовых показателей, название основных греков пошло от букв греческого алфавита. Коллективно эти показатели называются чувстви́тельности ри́ска[1], показа́тели ри́ска[2] или пара́метры хеджи́рования[3].
Роль греков в управлении рисками[править]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Таблица показывает определение греков как чувствительность цены и риска опциона (верхняя строка) к соответствующим параметрам базового актива (левый столбец).
Греки первого порядка выделены синим цветом, второго порядка — зелёным, а третьего порядка — жёлтым. Греки «ванна», «чарм» и «ветта» указаны дважды, так как их перекрёстные производные равны по теореме Шварца. Показатели «ро», «лямбда», «эпсилон» и «вера» пропущены, так как они менее важны по сравнению с остальными. Три ячейки в таблице пока остаются пустыми, так как соответствующие показатели пока не определены в финансовой литературе. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Показатели «греки» являются фундаментальными инструментами в анализе и в управлении рисками. Каждый из них измеряет чувствительность стоимости портфеля к небольшому изменению одного из базовых параметров, что позволяет изолированно анализировать компоненты риска и соответствующим образом ребалансировать (покупать или продавать базовый актив для выравнивая дельты) портфель для достижения нужной экспозиции. Например, именно таким образом строится стратегия дельта-хеджирования.
В модели Блэка-Шоулза, позволяющей эффективно анализировать и оценивать производные финансовые инструменты в идеализированных рыночных условиях, «греки» относительно просты в вычислении — это одно из неоспоримых плюсов этой модели — и очень полезны при торговле деривативами, особенно в целях хеджирования своего портфеля от неблагоприятных изменений рыночных условий. Именно поэтому наиболее полезные для хеджирования «греки», такие как дельта (англ. delta), тета (англ. theta) и вега (англ. vega), определены специально для измерения изменений базовых параметров (как текущая цена, время и волатильность).
Хотя ро (англ. rho) (производная по безрисковой процентной ставке) является первостепенным элементом модели Блэка-Шоулза, общий эффект влияния её изменения на стоимость краткосрочных опционов обычно незначителен, поэтому высшие производные, связанные с безрисковой ставкой, не получили широкого распространения.
Самые распространённые из «греков» — это частные производные первого порядка дельта, вега, тета и ро, а также вторая производная цены опциона по цене базового актива гамма (англ. gamma). Остальные чувствительности из этого списка встречаются достаточно часто, чтобы иметь собственные названия, однако приведённый перечень далеко не исчерпывающий.
Ежедневно игроки на рынке совершают сделки на огромные суммы в долларах, фунтах стерлингов и евро, поэтому крайне важно точно рассчитывать риски и корректно оценивать влияние рыночных изменений. На практике участники рынка используют более сложные модели, уходящие за пределы упрощённых предположений модели Блэка-Шоулза, что отражается и на структуре используемых «греков».
Названия[править]
Названия «греков» были выбраны по ассоциации с традиционными финансовыми индикаторами альфа (англ. alpha) и бета (англ. beta), а также сигмой (англ. sigma) (стандартным отклонением логарифмических доходностей) и тау (англ. tau) (временем до срока погашения), которые используются в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Некоторые термины, такие, как «вега» (символ которой похож на строчную букву «ню»; использование этого имени могло бы неправильно трактоваться) и «зомма» (англ. zomma), являются вымышленными, но имитируют звучание греческих символов. Вероятно, термины «колор» (англ. color) и «чарм» (англ. charm) произошли от использования этих слов в описаниях экзотических свойств кварков в физике элементарных частиц.
Греки первого порядка[править]
Дельта[править]
Дельта[4], обозначаемая символом Δ, измеряет скорость изменения теоретической стоимости опциона при изменении цены базового актива. Математически дельта — это первая производная стоимости опциона Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V} по цене базового актива Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} :
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta = \frac{\partial V}{\partial S}}
Практическое применение[править]
Для ванильного опциона (англ. vanilla option), стандартного опциона без дополнительных особенностей, дельта будет находиться в диапазоне от 0 до 1 для длинной позиции по колл-опциону (или короткой по пут-опциону) и от 0 до минус 1 для длинной позиции по пут-опциону (или короткой по колл-опциону). Значение дельты для колл-опциона интерпретируется следующим образом:
- Глубоко в деньгах (англ. in-the-money) — опцион ведёт себя подобно владению одной акцией базового актива.
- Вне денег (англ. out-of-the-money) — опцион ведёт себя как пустая позиция (ничем не владеешь).
- Между этими крайностями дельта принимает промежуточные значения для пут-опциона.
Для пут-опциона наблюдается обратная ситуация. Разница между дельтами колл- и пут-опционов с одинаковым страйком равна единице. Это следствие паритета пут-колл (англ. put-call parity): покупка колл-опциона и одновременная продажа пут-опциона эквивалентна покупке форварда, который линейно зависит от спотовой цены S с коэффициентом 1. Соответственно, производная форварда по спотовой цене равна 1.
Значения дельты обычно выражаются в процентах от общего количества акций, охваченных опционным контрактом. Это удобно, так как опцион в моменте ведёт себя как указанное дельтой соответствующее количество акций. Например, если портфель состоит из 100 американских опционов колл на акции XYZ, каждый из которых имеет дельту 0.25 (25 %), то при небольших изменениях цены акции поведение портфеля будет соответствовать поведению 2500 акций XYZ (каждый опционный контракт охватывает 100 акций, итого 100 × 100 = 10 000 акций). Часто знак и проценты опускают, так как знак уже заложен в типе опциона (минус для пут, плюс для колл), а проценты понимаются автоматически. Наиболее часто цитируются уровни дельты 25 % пут, 50 % пут и 50 % колл, а также 25 % колл. Несмотря на близкое сходство, пут-опцион с дельтой 50 % и колл-опцион с дельтой 50 % не полностью идентичны из-за обусловленной дисконтом разницы между текущей и форвардной ценами, но их часто объединяют для упрощения анализа.
Дельта всегда положительна для длинных позиций по колл-опционам и отрицательна для длинных позиций по пут-опционам, если только она не равна нулю (например, если опцион глубоко вне денег). Общая дельта сложного портфеля, содержащего позиции по одному и тому же базовому активу, находится простым суммированием дельт отдельных позиций — в этом случае дельта портфеля линейна по составляющим. Так как дельта базового актива всегда равна 1.0, трейдер может полностью захеджировать свою позицию по базовому активу, купив или открыв короткую позицию на количество акций, указанное суммарной дельтой. Например, если дельта портфеля опционов на акции XYZ (выраженная в акциях базового актива) равна +2.75, трейдер сможет захеджировать портфель методом дельта-хеджирования, продав короткие позиции на 2.75 акции базового актива. Такой портфель сохранит свою общую стоимость независимо от динамики движения цены акций XYZ (это справедливо только при небольших изменениях цены базового актива, на коротком временном горизонте и при отсутствии изменений других рыночных условий, таких как волатильность и норма доходности для безрисковых инвестиций).
Дельта как вероятность исполнения опциона[править]
Абсолютное значение дельты близко, но не идентично проценту нахождения опциона «в деньгах» (англ. percent moneyness), то есть подразумеваемой вероятности того, что опцион закроется в деньгах, если рынок движется по закону броуновского движения в риск-нейтральной мере[5]. По этой причине некоторые трейдеры используют абсолютное значение дельты как приближённую оценку процента нахождения опциона «в деньгах». Например, если вне-денег колл-опцион имеет дельту 0.15, трейдер может предположить, что у этого опциона примерно 15 % шанс завершиться в деньгах. Аналогично, если пут-опцион имеет дельту −0.25, трейдер может ожидать, что вероятность его завершения в деньгах составляет около 25 %.
Опционы «на деньгах» (англ. at-the-money) (опцион без встроенной прибыли, цена базового актива равна страйку) обычно имеют дельту около 0.5 для колл-опционов и около −0.5 для пут-опционов, причём у колл-опционов «на деньгах» дельта немного выше из-за влияния безрисковой процентной ставки.
Отрицательная дисконтированная вероятность того, что опцион окажется прибыльным и завершится в деньгах (англ. in-the-money) на момент истечения срока, называется «двойная дельта» (англ. dual delta). Двойная дельта — это первая производная цены опциона по отношению к страйковой цене[6].
Связь между дельтой колл- и пут-опционов[править]
Для европейских колл- и пут-опционов с одинаковыми параметрами (базовый актив, страйк, срок до экспирации) и без дивидендных выплат сумма абсолютных значений дельт равна 1. Более точно, дельта колл-опциона (положительная) минус дельта пут-опциона (отрицательная) равна 1. Это обусловлено паритетом пут-колл: позиция, состоящая из длинного колл-опциона и короткого пут-опциона, воспроизводит форвардный контракт, дельта которого равна 1.
Если известна дельта одного опциона, можно вычислить дельту аналогичного опциона с теми же характеристиками, но противоположным правом покупки/продажи, вычитая 1 из дельты известного колл-опциона или прибавляя 1 к дельте известного пут-опциона:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta(\text{call}) - \Delta(\text{put}) = 1, \text{ получаем: } \Delta(\text{call}) = \Delta(\text{put}) + 1 \text{ и } \Delta(\text{put}) = \Delta(\text{call}) - 1. }
Например, если дельта колл-опциона равна 0.42, то дельта соответствующего пут-опциона той же серии (соответствующего страйка и срока) будет равна 0.42 − 1 = −0.58. Наоборот, если известна дельта пут-опциона (-0.58), то дельта соответствующего колл-опциона вычисляется как −0.58+1=0.42.
Вега[править]
Вега[4], обозначаемая символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{V}} , измеряет то, как цена опциона реагирует на изменения подразумеваемой волатильности. Вега — это производная стоимости опциона по уровню волатильности базового актива.
Формула для веги выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{V}=\frac{\partial V}{\partial \sigma}}
Вега не является буквой греческого алфавита. Используемый символ представляет собой нестандартную заглавную версию греческой буквы nu (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\textstyle \nu} ), написанной как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{V}} . Видимо, название «вега» появилось потому, что греческая буква nu внешне напоминает латинское vee, и название «вега» было получено по аналогии с произношением греческих букв бета, эта и тета в американском английском.
Иногда в научных источниках вместо символа вега используется символ каппа (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa} ). Также применяются символы тау (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau} ) или заглавная лямбда (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Lambda} )[7], но это тоже бывает редко.
Вега опциона показывает, на сколько изменится цена опциона при изменении волатильности на 1 процентный пункт. Увеличение волатильности увеличивает стоимость как колл-, так и пут-опционов.
Вега особенно важна для трейдеров, работающих с опционными стратегиями, где результат сильно зависит от волатильных колебаний. Например, эффективность стратегии стрэддл (англ. option straddle) (одновременная покупка или продажа опциона «колл» и опцион «пут» на один и тот же базовый актив с одинаковым страйком и датой истечения) крайне зависима от изменений волатильности.
Тета[править]
Тета[4], обозначаемая символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Theta} , измеряет временной распад стоимости опциона — ежедневное снижение его цены при прочих равных условиях.
Формула для теты выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Theta = -\frac{\partial V}{\partial \tau}}
С течением времени, при прочих равных условиях, внешняя стоимость (временная премия, которая представляет собой разницу между рыночной ценой опциона и его внутренней стоимостью) опциона уменьшается. Это означает, что со временем опцион теряет свою стоимость, что традиционно выражается утверждением, что длинные опционы имеют короткую (отрицательную) тету. На самом деле, первая производная стоимости опциона по времени обычно положительна. Изменение стоимости опциона обычно отрицательно, так как само течение времени — это отрицательная величина (снижение времени до экспирации τ). Однако, по договоренности, вместо того, чтобы считать время отрицательным, профессионалы предпочитают считать отрицательной экспозицию к тете (то есть потерю стоимости), и поэтому значение теты обычно указывается как произведение −1 на первую производную, как указано выше.
Хотя внешняя стоимость уменьшается со временем, иногда действует обратный фактор — эффект дисконтирования. Для глубоко «в деньгах» опционов некоторых типов (например, пут-опционов в модели Блэка-Шоулза, пут- и колл-опционов в модели Блэка) по мере того, как дисконтные факторы приближаются к 1 с течением времени, стоимость длинного опциона растёт. Иногда глубокие «в деньгах» опционы могут выиграть больше от возрастающего дисконтирования, чем проиграть от падения внешней стоимости, и в этом случае тета для долгого опциона будет положительной, а не обычной отрицательной (и такой опцион может стать кандидатом на досрочное исполнение, если это предусмотрено, а европейский опцион может упасть в цене ниже номинальной стоимости).
Традиционно в оценке опционов τ (время до экспирации) измеряется годами. Однако специалистам удобнее видеть тету в терминах изменения числа дней, а не лет до экспирации. Поэтому обычно тета делится на количество дней в году (вопрос методики подсчёта рабочих или календарных днями остаётся открытым, у каждого варианта есть свои аргументы).
Ро[править]
Ро[4], обозначаемый символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho} , измеряет чувствительность цены опциона к изменению безрисковой процентной ставки — это производная стоимости опциона по безрисковой процентной ставке (для соответствующего срока обращения опциона).
Формула для ро выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = \frac{\partial V}{\partial r}}
В обычных условиях стоимость опциона менее чувствительна к изменениям безрисковой ставки, чем к изменениям других параметров (например, волатильности или времени до экспирации). Поэтому среди основных греков первого порядка ро используется реже остальных.
Ро обычно выражается в денежной сумме на акцию базового актива, на которую стоимость опциона изменится при изменении безрисковой процентной ставки на 1 % в год (100 базисных пунктов).
Лямбда[править]
Лямбда[4] (англ. lambda), обозначаемая символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} , омега (англ. omega)[8], обозначаемая символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} , или эластичность[4], — это процентное изменение стоимости опциона при процентном изменении цены базового актива. Этот показатель характеризует рычаг (англ. leverage), дающий возможность управлять большим объёмом активов с меньшим капиталом и иногда называемый «финансовое плечо» (англ. gearing).
Формула для лямбды имеет вид: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \Omega = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{S}{V}}
или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \Omega = \Delta\times\frac{S}{V}} .
В отличие от дельты, которая выражает абсолютное изменение стоимости опциона при изменении цены базового актива, лямбда выражает это изменение в процентах.
Эпсилон[править]
Эпсилон[9] (англ. epsilon), обозначаемый символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} , также известный как пси (англ. psi), обозначаемый символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi} , измеряет относительное изменение стоимости опциона при изменении дивидендной доходности базового актива на 1 %. Представляет собой меру риска, связанного с дивидендами. На практике влияние изменений дивидендной доходности оценивается при помощи увеличения доходности на 10 %. Естественно, что такая чувствительность применима только к производным инструментам на основе акций.
Формула для лямбды имеет вид: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon = \psi = \frac{\partial V}{\partial q}}
Всех греков первого порядка численно можно воспринимать как разброс ожидаемых доходностей[10]. Кроме того, геометрический подход (англ. information geometry) предлагает альтернативную (тригонометрическую) интерпретацию этих коэффициентов[10].
Греки второго порядка[править]
Гамма[править]
Гамма[4], обозначаемая символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} , измеряет скорость изменения дельты при изменении цены базового актива. Гамма является второй производной стоимости опциона по цене базового актива.
Формула для гаммы имеет вид: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}}
Большинство длинных опционов имеют положительную гамму, а коротких — отрицательную. Длинные опционы положительно реагируют на увеличение гаммы: при росте цены базового актива гамма также увеличивается, заставляя дельту приближаться к 1 (для колл-опционов) или к 0 (для пут-опционов). Для коротких опционов справедливо обратное[11] .
Гамма максимальна при уровне «на деньгах» (англ. at-the-money) и уменьшается по мере ухода в зоны «в деньгах» (in-the-money) или «вне денег» (out-of-the-money). Гамма важна, так как она корректирует нелинейность стоимости опциона.
Гамма измеряет, насколько быстро изменяется дельта опциона при изменении цены базового актива, и важна для трейдеров, стремящихся эффективно контролировать риски своих позиций. Когда трейдер стремится создать эффективное дельта-хеджирование портфеля, он также может стремиться нейтрализовать гамму, так как это обеспечит надёжность хеджа на широком спектре изменений цены базового актива.
Ванна[править]
Ванна[4], также известная как DvegaDspot[13] и DdeltaDvol[13], измеряет чувствительность дельты опциона к изменению волатильности или чувствительность вегы к изменению цены базового актива. Это вторая производная стоимости опциона по двум переменным: цене базового актива и волатильности.
Ванна полезна для трейдеров, следящих за изменениями в чувствительности опциона к волатильности и цене базового актива. Если волатильность меняется, ванна покажет, как изменится эффективность дельта-хеджирования, а если меняется цена базового актива, ванна даст представление о воздействии на эффективность хеджирования по веге.
Таким образом, ванна помогает трейдерам отслеживать изменения эффективности хеджирующих стратегий при колебаниях волатильности и цены базового актива.
Если базовый актив имеет непрерывные вторые частные производные, то: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Vanna} = \frac{\partial \Delta}{\partial \sigma} = \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \, \partial \sigma}. }
Чарм[править]
Charm[4] (англ. сharm), также известный как распад дельты[14] (англ. delta decay), указывает на то, как изменится дельта опциона при завершении одного торгового дня. Математически чарм является производной от дельты относительно времени.
Формула для чарма выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Charm} = -\frac{\partial \Delta}{\partial \tau} = \frac{\partial \Theta}{\partial S} = -\frac{\partial^2 V}{\partial \tau \, \partial S}}
Чарм также называют DdeltaDtime[13]. Чарм может быть важным показателем для отслеживания, когда хеджируется позиция по дельте, особенно перед длительными перерывами в торговле (например, выходными). Чарм — это вторая производная стоимости опциона по цене и времени, а также производная теты по цене базового актива.
Результат математической формулы для чарма выражается в единицах дельта/год. Чтобы получить ежедневный распад дельты, результат часто делят на количество дней в году. Этот подход достаточно точен, когда до экспирации опциона остаётся много дней. При приближении к экспирации чарм может быстро изменяться, что делает однодневные оценки распадов дельты менее точными.
Вомма[править]
Вомма[4] (англ. vomma), volga,[15] vega convexity,[15] или DvegaDvol[15] измеряет вторую производную стоимости опциона по волатильности. Вомма показывает, как быстро изменяется вега при изменении волатильности (иными словами, вомма измеряет скорость изменения вегы при изменении волатильности).
Формула для воммы выглядит так:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Vomma} = \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \sigma} = \frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}}
При положительной вомме позиция становится длинной по веге при увеличении подразумеваемой волатильности (индикатора, который вычисляется на основе текущей рыночной цены опциона и показывает, насколько, по мнению рынка, цена актива может измениться в будущем) и короткой по веге при её снижении. Это позволяет извлекать прибыль аналогичным способом, как и при длинной гамме. Первоначально нейтральную по веге, но длинную по вомме позицию можно построить из соотношения опционов с разными страйками.
Вомма положительна для длинных опционов «вне денег» (out-of-the-money) и первоначально увеличивается с увеличением расстояния от уровня «на деньгах» (at-the-money), но затем снижается по мере уменьшения вегы. Конкретно, вомма положительна там, где обычные члены d1 и d2 имеют одинаковый знак (что верно, когда d1 < 0 или d2 > 0).
Ветта[править]
Ветта[16] (англ. veta), также известная как распад веги (англ. vega decay) или DvegaDtime[15], измеряет скорость изменения вегы по времени. Ветта является второй производной стоимости опциона: по волатильности и по времени.
Формула для ветты выглядит так:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Veta} = \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 V}{\partial \sigma \, \partial \tau}}
В повседневной практике принято делить полученный результат ветты на 100, умноженное на количество дней в году, чтобы преобразовать его в процентное изменение веги за один день.
Вера[править]
Вера[17] (англ. vera), иногда рова (англ. rhova))[17] измеряет скорость изменения ро (чувствительности цены опциона к изменению безрисковой процентной ставки) при изменении волатильности. Вера является второй производной стоимости опциона: по волатильности и по процентной ставке.
Формула для веры выглядит так:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Vera} = \frac{\partial \rho}{\partial \sigma} = \frac{\partial^2 V}{\partial \sigma \, \partial r}}
Название «Вера» было предложено Р. Нарышкиным в начале 2012 года, когда возникла потребность использовать этот показатель на практике для оценки влияния изменений волатильности на хеджирование по ро, но соответствующего названия в доступной литературе ещё не существовало. Имя «Вера» было выбрано так, чтобы звучало похоже на комбинацию Веги (Vega) и Ро (Rho), соответствующих греков первого порядка. Теперь это название получило широкое распространение, включая программное обеспечение для систем компьютерной алгебры (СКА), например, в финансовом пакете символьных вычислений программы Maple имеется функция BlackScholesVera.
Вторая частная производная по страйку K[править]
Вторая частная производная занимает центральное место в формуле Бридена-Литценбергера[18]. Она использует котировки колл-опционов для оценки вероятности, соответствующей безрисковому рынку, которая содержится в этих ценах.
Формула выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varpi =\frac{\partial^2 V}{\partial K^2}}
Для колл-опционов эту производную можно рассчитать, используя торговую стратегии с широким размахом страйков («бабочку» (англ. butterfly strategy)).
Греки третьего порядка[править]
Скорость[править]
Скорость[4] (англ. speed) измеряет скорость изменения гаммы при изменении цены базового актива. Скорость является третьей производной стоимости опциона по цене базового актива.
Формула для скорости выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Speed} = \frac{\partial\Gamma}{\partial S} = \frac{\partial^3 V}{\partial S^3}}
Скорость также иногда называют «гамма гаммы»[1] или DgammaDspot[13].
Скорость важна для мониторинга при дельта-хеджировании или гамма-хеджировании портфеля, так как она показывает, насколько быстро меняется гамма при изменении цены базового актива.
Зомма[править]
Зомма[4] (англ. zomma) измеряет скорость изменения гаммы при изменении волатильности.
Формула для зоммы выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Zomma} = \frac{\partial \Gamma}{\partial \sigma} = \frac{\partial \text{vanna}}{\partial S} = \frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \, \partial \sigma}}
Зомму также иногда называют DgammaDvol[13]. Зомма является третьей производной стоимости опциона: дважды по цене базового актива и один раз по волатильности. Полезна для трейдеров, поддерживающих гамма-хеджированную позицию, так как она помогает прогнозировать изменения эффективности хеджа при изменении волатильности.
Янна[править]
Янна (англ. yanna) измеряет скорость изменения ванны при изменении волатильности.
Формула для янны выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Yanna} = \frac{\partial \text{vanna}}{\partial \sigma} = \frac{\partial \text{vomma}}{\partial S} = \frac{\partial^3 V}{\partial S \, \partial \sigma^2}}
Янна также известна как DvannaDvol или DvommaDspot. Янна является третьей производной стоимости опциона: дважды по волатильности и один раз по цене базового актива. Полезна для трейдеров, поддерживающих ванну-хеджированную позицию, так как она помогает прогнозировать изменения эффективности хеджа при изменении волатильности.
Цвет[править]
Цвет[13] (англ. color), распад гаммы[19] (англ. gamma decay) или DgammaDtime[13], измеряет скорость изменения гаммы с течением времени.
Формула для цвета выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Color} = \frac{\partial \Gamma}{\partial \tau} = \frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \, \partial \tau}}
Цвет является третьей производной стоимости опциона: дважды по цене базового актива и один раз по времени. Цвет важен для трейдеров, поддерживающих гамма-хеджированную позицию, так как он помогает прогнозировать изменения гаммы с течением времени. Результат формулы обычно выражается в гаммах за год, но для удобства результат часто делят на количество дней в году, чтобы получить изменение гаммы за день.
При большом количестве дней до экспирации опциона такой подход достаточно точен, но по мере приближения к экспирации цвет может быстро изменяться, что делает однодневные оценки изменения гаммы менее точными.
Ультима[править]
Ultima[4] (англ. ultima) измеряет чувствительность воммы к изменению волатильности. Ультима также известна как DvommaDvol. Ультима является третьей производной стоимости опциона по волатильности.
Формула для ультимы выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Ultima}= \frac{\partial \text{vomma}}{\partial \sigma} = \frac{\partial^3 V}{\partial \sigma^3}}
Ультима также известна как DvommaDvol[4]. Ультима является третьей производной стоимости опциона по волатильности.
Пармичарма[править]
Пармичарма[4] (англ. parmicharma) измеряет скорость изменения чарма с течением времени.
Формула для пармичармы выглядит так: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{Parmicharma}= -\frac{\partial \text{charm}}{\partial \tau} = \frac{\partial^3 V}{\partial \tau^2 \partial S}}
Пармичарма также известна как DcharmDtime[20]. Пармичарма является третьей производной стоимости опциона: дважды по времени и один раз по цене базового актива.
Пармичарма полезна для трейдеров, стремящихся поддержать дельта-хеджированную позицию с течением времени[20]. Помимо простого дельта-хеджирования, трейдер может дополнительно хеджировать чарм, чтобы повысить эффективность хеджа. Пармичарма помогает трейдеру прогнозировать изменения эффективности хеджа по мере течения времени.
Использование греков для мультиактивных опционов[править]
Греки для мультиактивных опционов (англ. multi-asset options) используются, когда стоимость производного инструмента зависит от двух или более базовых активов. В таких случаях греки дополняются дополнительными метриками, отражающими взаимодействие между активами.
Корреляционная дельта (англ. correlation delta) измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к изменению корреляции между базовыми активами[21]. Также известна как цега (англ. cega)[22][23].
Кросс-гамма (англ. cross gamma) измеряет скорость изменения дельты одного базового актива при изменении уровня цены другого базового актива[24].
Кросс-ванна (англ. cross vanna) измеряет скорость изменения веги одного базового актива при изменении уровня подразумеваемой волатильности другого базового актива. Можно также интерпретировать как скорость изменения дельты второго актива при изменении волатильности первого актива[21].
Кросс-вольга (англ. cross volga) измеряет скорость изменения веги одного базового актива при изменении волатильности другого базового актива[24].
Расчёт греков для европейских опционов[править]
Греки европейских опционов (колл и пут) в модели Блэка-Шоулза рассчитываются следующим образом, где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi} (фи (англ. phi)) — функция плотности стандартного нормального распределения и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi} — кумулятивная функция стандартного нормального распределения. Обратите внимание, что формулы для гаммы и веги одинаковы как для колл-, так и для пут-опционов.
При заданных значениях:
- Текущая цена актива Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \, } ,
- Цена исполнения (страйк) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K \, } ,
- Безрисковая процентная ставка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r \, } ,
- Годовая дивидендная доходность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q \, } ,
- Время до экспирации: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau = T - t \, } (выражено в виде десятичной дроби, соответствующей доле года, не имеет единиц измерения), и
- Волатильность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma \, } .
| Колл | Пут | |
|---|---|---|
| справедливая стоимость (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Se^{-q \tau}\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) - Se^{-q \tau}\Phi(-d_1) \, } |
| дельта (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-q \tau} \Phi(-d_1)\, } |
| вегa (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{V}} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S e^{-q \tau} \varphi(d_1) \sqrt{\tau} = K e^{-r \tau} \varphi(d_2) \sqrt{\tau} \, } | |
| тета (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Theta} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - e^{-q \tau} \frac{S \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - e^{-q \tau}\frac{S \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1)\, } |
| ро (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \, } |
| эпсилон (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -S \tau e^{-q \tau} \Phi(d_1) } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \tau e^{-q \tau} \Phi(-d_1) } |
| лямбда (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \frac{S}{V} \, } | |
| гамма (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-q \tau} \frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} = K e^{-r \tau} \frac{\varphi(d_2)}{S^2\sigma\sqrt{\tau}} \, } | |
| ванна | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-q \tau} \varphi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\mathcal{V}}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\, } | |
| чарм | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle qe^{-q \tau} \Phi(d_1) - e^{-q \tau} \varphi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) - e^{-q \tau} \varphi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, } |
| вомма | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Se^{-q \tau} \varphi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \mathcal{V} \frac{d_1 d_2}{\sigma} \, } | |
| вера | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -K \tau e^{-r \tau} \varphi(d_2) \frac{d_1 }{\sigma} \, } | |
| ветта | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -Se^{-q \tau} \varphi(d_1) \sqrt{\tau} \left[ q + \frac{ \left( r - q \right) d_1 }{ \sigma \sqrt{\tau} } - \frac{1 + d_1 d_2}{2 \tau} \right] \, } | |
| Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varpi} | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S e^{-q\tau} \varphi(d_1) \frac{1}{K^2 \sigma \sqrt{\tau}} = \left(\frac{S}{K}\right)^2 \Gamma \, } | |
| скорость | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-q \tau} \frac{\varphi(d_1)}{S^2 \sigma \sqrt{\tau}} \left(\frac{d_1}{\sigma \sqrt{\tau}} + 1\right) = -\frac{\Gamma}{S}\left(\frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}}+1\right) \, } | |
| зомма | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-q \tau} \frac{\varphi(d_1)\left(d_1 d_2 - 1\right)}{S\sigma^2\sqrt{\tau}} = \Gamma\frac{d_1 d_2 -1}{\sigma} \, } | |
| цвет | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-q \tau} \frac{\varphi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \, } | |
| ультима | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{-\mathcal{V}}{\sigma^2} \left[ d_1 d_2 (1 - d_1 d_2) + d_1^2 + d_2^2 \right]} | |
| пармичарма | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(q - \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}}\right) \text{charm} - e^{-q \tau} \varphi(d_1) \frac{2d_2\sigma^2\tau -(r-q)\sigma\tau\sqrt{\tau} -\sigma^2\tau^2\frac{\partial}{\partial \tau}d_2}{2\tau^3 \sigma^2 } \,} | |
| кросс-дельта | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \, } |
| кросс-гамма | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau} \frac{\varphi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \, } | |
где
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} d_1 &= \frac{\ln(S/K) + \left(r - q + \frac{1}{2}\sigma^2\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} \\ d_2 &= \frac{\ln(S/K) + \left(r - q - \frac{1}{2}\sigma^2\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = d_1 - \sigma\sqrt{\tau} \\ \varphi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \Phi(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} y^2} \,dy = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty e^{-\frac{1}{2} y^2} \,dy \end{align}}
В модели Блэка (часто используемой для сырьевых товаров и опционов на фьючерсы) греки можно рассчитать следующим образом:
| Calls | Puts | |
|---|---|---|
| справедливая стоимость (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau}[F\Phi(d_1) - K\Phi(d_2)] \ } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau} [K\Phi(-d_2) - F\Phi(-d_1)] \, } |
| дельта (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta} ) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\partial V/\partial F } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau} \Phi(d_1) \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-r \tau} \Phi(-d_1)\, } |
| вега (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{V}} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F e^{-r \tau} \varphi(d_1) \sqrt{\tau} = K e^{-r \tau} \varphi(d_2) \sqrt{\tau} \, } (*) | |
| тета (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Theta} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - \frac{F e^{-r \tau} \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + rFe^{-r \tau}\Phi(d_1) \, } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - \frac{F e^{-r \tau} \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - rFe^{-r \tau}\Phi(-d_1)\, } |
| ро (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho} ) | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\tau e^{-r \tau}[F\Phi(d_1) - K\Phi(d_2)] \ } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\tau e^{-r \tau} [K\Phi(-d_2) - F\Phi(-d_1)] \, } |
| гамма (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} ) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = {\partial^2 V \over \partial F^2} } | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r \tau} \frac{\varphi(d_1)}{F\sigma\sqrt{\tau}} = K e^{-r \tau} \frac{\varphi(d_2)}{F^2\sigma\sqrt{\tau}} \, } (*) | |
| ванна Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{\partial^2 V}{\partial F \partial \sigma}} | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-r \tau} \varphi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\mathcal{V}}{F}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\, } | |
| вомма | Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F e^{-r \tau} \varphi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \mathcal{V} \frac{d_1 d_2}{\sigma} \, } | |
где
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} d_1 &= \frac{\ln(F/K) + \frac{1}{2}\sigma^2\tau}{\sigma\sqrt\tau} \\ d_2 &= \frac{\ln(F/K) - \frac{1}{2}\sigma^2\tau}{\sigma\sqrt\tau} = d_1 - \sigma\sqrt\tau \end{align}}
(*) Можно доказать выполнение равенства Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F\varphi(d_1) = K\varphi(d_2) }
Микро доказательство:
предположим, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x= \sigma \sqrt \tau }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_1 = \frac{\ln \frac F K + \frac 1 2 x^2}{x}}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_1\cdot x = \ln \frac F K + \frac 1 2 x^2}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln(F/K) = d_1\cdot x - \frac{1}{2}x^2}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{F}{K} = e^{d_1 \cdot x - \frac{1}{2}x^2}}
Тогда равенство можно переписать как: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{F}{K} \cdot \frac{\varphi(d_1)}{\varphi(d_2)} = \frac{F}{K} \cdot e^{\frac{1}{2}\cdot {d_2}^2 - \frac{1}{2}\cdot{d_1}^2}}
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =e^{d_1 x - \frac{1}{2}x^2} \cdot e^{\frac{1}{2}\cdot{(d_1-x)}^2 - \frac{1}{2}\cdot{d_1}^2} = e^{d_1 x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \cdot (2d_1 - x)(-x)} = e^0 = 1.}
Получаем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F\varphi(d_1) = K\varphi(d_2) }
Связанные показатели измерения риска финансовых активов[править]
Ниже приведены некоторые показатели, используемые для количественного анализа рисков финансовых активов.
Дюрация и выпуклость облигаций[править]
→ Дюрация
В торговле облигациями и другими инструментами с фиксированным доходом используются различные показатели дюрации облигаций, аналогичные дельте опциона. В контексте облигаций ближайшим аналогом дельты является показатель DV01, который показывает, как цена облигации изменяется при изменении доходности. Доходность здесь выступает в роли основного параметра. Аналогом лямбды является модифицированная продолжительность (англ. modified duration), которая показывает процентное изменение рыночной цены облигации при единичном изменении доходности (то есть она эквивалентна DV01, делённому на рыночную цену облигации). В отличие от лямбды, которая является эластичностью (процентным изменением выходной величины при процентном изменении входной), модифицированная продолжительность является полуэластичностью (процентным изменением выходной величины при единичном изменении входной). Связано с понятием «дюрации ключевой ставки» (англ. key rate duration) — мерой чувствительности облигации или портфеля облигаций к изменению процентных ставок в конкретных точках кривой доходности.
Выпуклость облигации — это показатель, измеряющий чувствительность продолжительности облигации к изменениям процентных ставок, является второй производной цены облигации по процентным ставкам (первая производная — продолжительность). Таким образом, кривизна облигации аналогична гамме в опционах. Чем выше кривизна, тем сильнее реагирует цена облигации на изменения ставок. Выпуклость облигации является одним из наиболее базовых и широко используемых способов применения этой функции в финансах.
Для облигаций с встроенным опционом стандартные расчёты, основанные на доходности к погашению, не учитывают влияние изменения процентных ставок на денежные потоки из-за исполнения опциона. Чтобы устранить этот пробел, вводятся понятия эффективной продолжительности (англ. еffective duration) и эффективной выпуклости (англ. еffective сonvexity). Эти показатели обычно рассчитываются с помощью древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от единственной доходности к погашению), что позволяет учитывать поведение опциона на протяжении всего срока его жизни как функцию времени и процентных ставок. Связано с понятием модели решётки (англ. lattice model) для рассмотрения всех возможных путей развития цены актива. .
Бета-коэффициент[править]
Бета (англ. beta) (β) акции или портфеля — показатель, показывающий, насколько сильно цена акции колеблется по отношению колебанию актива, с которым сравнивается этот актив. Обычно таким эталоном является общий финансовый рынок, который часто оценивается с использованием основных индексов, например, с S&P 500.
Актив имеет бета равную нулю (β=0), если его доходность изменяется независимо от изменений доходности рынка. Положительная бета (β>0) означает, что доходность актива обычно следует за доходностью рынка, в том смысле, что оба показателя одновременно находятся либо выше, либо ниже своих средних значений. Отрицательная бета (β<0) означает, что доходность актива обычно движется противоположно рынку: один показатель будет находиться выше своего среднего значения тогда, когда другой находится ниже своего среднего значения.
Фугит[править]
Фугит (англ. fugit) — оценка времени, оставшегося до оптимальной даты досрочного исполнения американского или бермудского опциона. Фугит полезно вычислять для целей хеджирования — например, потоки американского свопциона можно представить аналогично потокам свопа, начинающегося в момент фугита, умноженные на дельту, и затем использовать эти величины для расчёта других показателей рынка.
Примечания[править]
- ↑ 1,0 1,1 Macmillan Lawrence G. Options as a Strategic Investment. — 3rd. — New York Institute of Finance, 1993. — ISBN 978-0-13-636002-5.
- ↑ Banks Erik, Siegel Paul The options applications handbook: hedging and speculating techniques for professional investors. — McGraw-Hill Professional, 2006. — ISBN 9780071453158.
- ↑ Chriss Neil Black–Scholes and beyond: option pricing models. — McGraw-Hill Professional, 1996. — ISBN 9780786310258.
- ↑ 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 Haug Espen Gaardner The Complete Guide to Option Pricing Formulas. — McGraw-Hill Professional, 2007. — ISBN 9780071389976.
- ↑ Suma, John Options Greeks: Delta Risk and Reward. Проверено 7 января 2010.
- ↑ Steiner Bob Mastering Financial Calculations. — 3rd. — Pearson UK, 2013. — ISBN 9780273750604.
- ↑ Hull John C. Options, Futures, and Other Derivative Securities. — 2nd. — Prentice-Hall, 1993. — ISBN 9780136390145.
- ↑ Omega — Investopedia
- ↑ Measuring the Risk // The Handbook of Convertible Bonds. — P. 227–294. — ISBN 978-0-470-68968-4.
- ↑ 10,0 10,1 Soklakov, A. N. (June). «Information Geometry of Risks and Returns». Risk June.
- ↑ Understanding How Gamma Affect Delta. www.traderbrains.com (2014-05-28). Проверено 7 марта 2014.
- ↑ Why is Long Option Gamma Positive. www.traderbrains.com (2014-05-28). Проверено 7 марта 2014.
- ↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 Haug, Espen Gaarder (2003), "«Know Your Weapon, Part 1»", Wilmott Magazine (no. May 2003): 49–57, doi:10.1002/wilm.42820030313, <http://www.espenhaug.com/KnowYourWeapon.pdf>
- ↑ Derivatives — Delta Decay — The Financial Encyclopedia
- ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 Haug, Espen Gaarder (2003), "«Know Your Weapon, Part 2»", Wilmott Magazine (no. July 2003): 43–57, <https://www.scribd.com/document/26254888/Know-Your-Weapon-2>
- ↑ Ursone Pierino Vega // How to Calculate Options Prices and Their Greeks. — P. 93–110. — ISBN 978-1-119-01162-0.
- ↑ 17,0 17,1 Derivatives — Second-Order Greeks — The Financial Encyclopedia
- ↑ (1978) «Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices». The Journal of Business 51 (4): 621–651. DOI:10.1086/296025.
- ↑ "Derivatives – Greeks", Investment & Finance, <http://www.investment-and-finance.net/derivatives/g/greeks.html>. Проверено 21 декабря 2020.
- ↑ 20,0 20,1 (Spring 2012) «Charm-Adjusted Delta and Delta Gamma Hedging». The Journal of Derivatives 19 (3): 69–76. DOI:10.3905/jod.2012.19.3.069. ProQuest|963355778.
- ↑ 21,0 21,1 Greeks for Multi-Asset Options. Проверено 24 января 2017.
- ↑ Correlation Risk.
- ↑ Rotating Mountain Range Options, Valuation & risks / Performance analysis. Проверено 22 марта 2018.
- ↑ 24,0 24,1 Fengler, Matthias R. & Schwendner, Peter (13 February 2003), Correlation Risk Premia for Multi-Asset Equity Options, DOI 10.18452/3572
Ссылки[править]
Теория
- Delta, Gamma, GammaP, Gamma symmetry, Vanna, Speed, Charm, Saddle Gamma: Vanilla Options — Espen Haug,
- Volga, Vanna, Speed, Charm, Color: Vanilla Options — Uwe Wystup Архивировано из первоисточника 2007-09-28., Vanilla Options — Uwe Wystup
Он-лайн инструменты
- greeks: Sensitivities of Prices of Financial Options, R package to compute Greeks for European-, American- and Asian options
Шаблон:Cрочный рынок (производные финансовые инструменты)
 | Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Греческие обозначения», расположенная по адресу:
Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?». |
|---|