Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Дробь (математика)

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Дроби»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Дробь в математике — это представление чисел или математических величин в виде результата операции деления. Чаще всего дробь подается в форме , где делимое a называют числителем, а делитель b — знаменателем дроби. Также равнозначно применяют форму a:b или a/b.

Исторически через дроби были построены рациональные числа, когда числитель и знаменатель — это целые числа.

Дробь называют упрощенной, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1. Знаменатель дроби не может равняться нулю.

Дроби применяют для обозначения частей некоторых объектов. Например:

  • 2/3 (читается две трети) жителей города,
  • 1/5 (одна пятая) комнаты и тому подобное.

Правильные и неправильные дроби[править]

Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильным, пример: .

Если числитель больше знаменателя или равен ему, то такая дробь называется неправильной, пример: или .

Неправильные дроби принято представлять в виде смешанных чисел .

Для того, чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Например, дробью 7/2 можно записать результат деления числа 7 на число 2. Тогда целую и дробную части смешанного числа можно найти так:

  1. Выполняем деление 7:2 = 3 (остаток 1).
  2. Полученное неполное частное (3) будет целой частью смешанного числа,
  3. Остаток (1) будет числителем дробной части.

Операции над дробями[править]

Сложение[править]

Суммой двух дробей с общим (одинаковым) знаменателем является дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен общему знаменателю слагаемых. Таким образом, чтобы сложить две дроби a: b и c: d, следует сначала свести их к общему знаменателю, то есть умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой, Таким образом мы получим две дроби с одинаковыми знаменателями:

Вычитание[править]

По аналогии со сложением дробей, определяется их разность:

То есть, изменив знак числителя второго слагаемого на противоположный, мы просто складываем их.

Умножение[править]

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если числитель одной дроби и знаменатель той же или другой дроби образуют сократимую дробь, то её можно сократить.


Если умножить дробь на её знаменатель, получится его числитель:

Произведением двух взаимно простых дробей всегда будет единица:

Деление[править]

Частным двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель — произведением знаменателя делимого на числитель делителя:

Пропорции[править]

Пропорции используют дроби для представления отношений, то есть тот факт, что отношение определенных составных частей двух предметов к соответствующему целого предмета является одинаковым. Подается этот факт как правило в форме:

Производные пропорции[править]

Из этого факта выводятся формулы для производных пропорций:

где

Вывод:

Из следует (умножим левую и правую часть равенства на b):

Подставим полученное выражение для a в формулу производной пропорции:

Частные случаи[править]

,

Очевидно,

Литература[править]

  • Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»
  • Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка XXI», 2008. — 544 с.
 
Доли числа (части целого)
Формы представления
Переменное значение
Фиксированное значение

1/4 (Четверть) 1/3 (Треть) 1/2 (Половина) 1/1 (Всё, целое)

См. также

Приставки СИЦелая частьДесятичная дробьДробная частьДесятичный разделительДробьЧастьДоля (музыка)Доля (единица измерения)