Дробь (математика)

Дробь в математике — это представление чисел или математических величин в виде результата операции деления. Чаще всего дробь подается в форме [math]a \over b[/math], где делимое a называют числителем, а делитель b — знаменателем дроби. Также равнозначно применяют форму a:b или a/b.

Исторически через дроби были построены рациональные числа, когда числитель и знаменатель — это целые числа.

Дробь называют упрощенной, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1. Знаменатель дроби не может равняться нулю.

Дроби применяют для обозначения частей некоторых объектов. Например:

• 2/3 (читается две трети) жителей города,
• 1/5 (одна пятая) комнаты и тому подобное.

Правильные и неправильные дроби

Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильным, пример: [math]3 \over 5[/math].

Если числитель больше знаменателя или равен ему, то такая дробь называется неправильной, пример: [math]7 \over 2[/math] или [math]2 \over 2[/math].

Неправильные дроби принято представлять в виде смешанных чисел [math]{7 \over 2}=3{1 \over 2}[/math].

Для того, чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Например, дробью 7/2 можно записать результат деления числа 7 на число 2. Тогда целую и дробную части смешанного числа можно найти так:

1. Выполняем деление 7:2 = 3 (остаток 1).
2. Полученное неполное частное (3) будет целой частью смешанного числа,
3. Остаток (1) будет числителем дробной части.

Операции над дробями

Сложение

Суммой двух дробей с общим (одинаковым) знаменателем является дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен общему знаменателю слагаемых. Таким образом, чтобы сложить две дроби a: b и c: d, следует сначала свести их к общему знаменателю, то есть умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой, Таким образом мы получим две дроби с одинаковыми знаменателями:

[math]{{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}} [/math]

Вычитание

По аналогии со сложением дробей, определяется их разность:

[math]{{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}} [/math]

То есть, изменив знак числителя второго слагаемого на противоположный, мы просто складываем их.

Умножение

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если числитель одной дроби и знаменатель той же или другой дроби образуют сократимую дробь, то её можно сократить.

[math]{{ a \over b } * { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }}[/math]

Если умножить дробь на её знаменатель, получится его числитель:
[math]\frac{a}{b}\times b=a[/math]
Произведением двух взаимно простых дробей всегда будет единица:
[math]{a \over b}\times{b \over a}=1[/math]

Деление

Частным двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель — произведением знаменателя делимого на числитель делителя:

[math]{{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}[/math]

Пропорции

Пропорции используют дроби для представления отношений, то есть тот факт, что отношение определенных составных частей двух предметов к соответствующему целого предмета является одинаковым. Подается этот факт как правило в форме:

[math]{ a \over b } = { c \over d }[/math]

Производные пропорции

Из этого факта выводятся формулы для производных пропорций:

[math]{{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c+ n d} \over {p c + q d}}[/math]

где

[math]p a + q b \ne 0[/math]

[math]p c + q d \ne 0[/math]

Вывод:

Из [math]{ a \over b } = { c \over d }[/math] следует (умножим левую и правую часть равенства на b):

[math]{ a } = { {c b} \over d }[/math]

Подставим полученное выражение для a в формулу производной пропорции:

[math]{{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} = {{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} = {{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} = {{{b(m c + n d)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}[/math]

Частные случаи

[math]{{a \pm b} \over b} = {{c \pm d} \over d}[/math],

[math]{{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}[/math]

Очевидно,

[math]a + b \ne 0[/math]

[math]c + d \ne 0[/math]

Литература

• Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»
• Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка XXI», 2008. — 544 с.