Дробь (математика)
Дробь в математике — это представление чисел или математических величин в виде результата операции деления. Чаще всего дробь подается в форме , где делимое a называют числителем, а делитель b — знаменателем дроби. Также равнозначно применяют форму a:b или a/b.
Исторически через дроби были построены рациональные числа, когда числитель и знаменатель — это целые числа.
Дробь называют упрощенной, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1. Знаменатель дроби не может равняться нулю.
Дроби применяют для обозначения частей некоторых объектов. Например:
- 2/3 (читается две трети) жителей города,
- 1/5 (одна пятая) комнаты и тому подобное.
Правильные и неправильные дроби[править]
Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильным, пример: .
Если числитель больше знаменателя или равен ему, то такая дробь называется неправильной, пример: или .
Неправильные дроби принято представлять в виде смешанных чисел .
Для того, чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Например, дробью 7/2 можно записать результат деления числа 7 на число 2. Тогда целую и дробную части смешанного числа можно найти так:
- Выполняем деление 7:2 = 3 (остаток 1).
- Полученное неполное частное (3) будет целой частью смешанного числа,
- Остаток (1) будет числителем дробной части.
Операции над дробями[править]
Сложение[править]
Суммой двух дробей с общим (одинаковым) знаменателем является дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен общему знаменателю слагаемых. Таким образом, чтобы сложить две дроби a: b и c: d, следует сначала свести их к общему знаменателю, то есть умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой, Таким образом мы получим две дроби с одинаковыми знаменателями:
Вычитание[править]
По аналогии со сложением дробей, определяется их разность:
То есть, изменив знак числителя второго слагаемого на противоположный, мы просто складываем их.
Умножение[править]
Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если числитель одной дроби и знаменатель той же или другой дроби образуют сократимую дробь, то её можно сократить.
Если умножить дробь на её знаменатель, получится его числитель:
Произведением двух взаимно простых дробей всегда будет единица:
Деление[править]
Частным двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель — произведением знаменателя делимого на числитель делителя:
Пропорции[править]
Пропорции используют дроби для представления отношений, то есть тот факт, что отношение определенных составных частей двух предметов к соответствующему целого предмета является одинаковым. Подается этот факт как правило в форме:
Производные пропорции[править]
Из этого факта выводятся формулы для производных пропорций:
где
Вывод:
Из следует (умножим левую и правую часть равенства на b):
Подставим полученное выражение для a в формулу производной пропорции:
Частные случаи[править]
- ,
Очевидно,
Литература[править]
- Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»
- Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка XXI», 2008. — 544 с.
Доли числа (части целого) ↑ [+] | |
---|---|
Переменное значение |
Процент (%) • Промилле (‰) • Десятитысячная доля (‱) • Миллионная доля (ppm, млн−1) • Миллиардная доля (ppb, млрд−1) • Триллионная доля (ppt, трлн−1)
|
Фиксированное значение |
1/4 (Четверть) • 1/3 (Треть) • 1/2 (Половина) • 1/1 (Всё, целое) |
См. также |
Приставки СИ • Целая часть • Десятичная дробь • Дробная часть • Десятичный разделитель • Дробь • Часть • Доля (музыка) • Доля (единица измерения) |