Дробь (математика)

Дробь в математике — это представление чисел или математических величин в виде результата операции деления. Чаще всего дробь подается в форме $a \over b$, где делимое a называют числителем, а делитель b — знаменателем дроби. Также равнозначно применяют форму a:b или a/b.

Исторически через дроби были построены рациональные числа, когда числитель и знаменатель — это целые числа.

Дробь называют упрощенной, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1. Знаменатель дроби не может равняться нулю.

Дроби применяют для обозначения частей некоторых объектов. Например:

• 2/3 (читается две трети) жителей города,
• 1/5 (одна пятая) комнаты и тому подобное.

Правильные и неправильные дроби

Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильным, пример: $3 \over 5$.

Если числитель больше знаменателя или равен ему, то такая дробь называется неправильной, пример: $7 \over 2$ или $2 \over 2$.

Неправильные дроби принято представлять в виде смешанных чисел ${7 \over 2}=3{1 \over 2}$.

Для того, чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Например, дробью 7/2 можно записать результат деления числа 7 на число 2. Тогда целую и дробную части смешанного числа можно найти так:

1. Выполняем деление 7:2 = 3 (остаток 1).
2. Полученное неполное частное (3) будет целой частью смешанного числа,
3. Остаток (1) будет числителем дробной части.

Операции над дробями

Сложение

Суммой двух дробей с общим (одинаковым) знаменателем является дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен общему знаменателю слагаемых. Таким образом, чтобы сложить две дроби a: b и c: d, следует сначала свести их к общему знаменателю, то есть умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой, Таким образом мы получим две дроби с одинаковыми знаменателями:

${{a \over b}+{c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{cb} \over {db}}}={{ad+cb} \over {bd}}$

Вычитание

По аналогии со сложением дробей, определяется их разность:

${{a \over b}-{c \over d}}={{a \over b}+{-c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{-cb} \over {bd}}}={{ad-cb} \over {bd}}$

То есть, изменив знак числителя второго слагаемого на противоположный, мы просто складываем их.

Умножение

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если числитель одной дроби и знаменатель той же или другой дроби образуют сократимую дробь, то её можно сократить.

${{a \over b}*{c \over d}}={{ac} \over {bd}}$

Если умножить дробь на её знаменатель, получится его числитель:
${\frac {a}{b}}\times b=a$
Произведением двух взаимно простых дробей всегда будет единица:
${a \over b}\times {b \over a}=1$

Деление

Частным двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель — произведением знаменателя делимого на числитель делителя:

${{a \over b}:{c \over d}}={{a \over b} \over {c \over d}}={{ad} \over {bc}}$

Пропорции

Пропорции используют дроби для представления отношений, то есть тот факт, что отношение определенных составных частей двух предметов к соответствующему целого предмета является одинаковым. Подается этот факт как правило в форме:

${a \over b}={c \over d}$

Производные пропорции

Из этого факта выводятся формулы для производных пропорций:

${{ma+nb} \over {pa+qb}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}$

где

$pa+qb\neq 0$

$pc+qd\neq 0$

Вывод:

Из ${a \over b}={c \over d}$ следует (умножим левую и правую часть равенства на b):

${a}={{cb} \over d}$

Подставим полученное выражение для a в формулу производной пропорции:

${{ma+nb} \over {pa+qb}}={{m{{cb} \over d}+nb} \over {p{{cb} \over d}+qb}}={{{{mcb} \over d}+nb} \over {{{pcb} \over d}+qb}}={{{mcb+nbd} \over d} \over {{pcb+qdb} \over d}}={{{b(mc+nd)} \over d}*{d \over {b(pc+qd)}}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}$

Частные случаи

${{a\pm b} \over b}={{c\pm d} \over d}$,

${{a-b} \over {a+b}}={{c-d} \over {c+d}}$

Очевидно,

$a+b\neq 0$

$c+d\neq 0$

Литература

• Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»
• Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка XXI», 2008. — 544 с.