Дробь (математика)

Дробь в математике — это представление чисел или математических величин в виде результата операции деления. Чаще всего дробь подается в форме Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a \over {b}} , где делимое a называют числителем, а делитель b — знаменателем дроби. Также равнозначно применяют форму a:b или a/b.

Исторически через дроби были построены рациональные числа, когда числитель и знаменатель — это целые числа.

Дробь называют упрощенной, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1. Знаменатель дроби не может равняться нулю.

Дроби применяют для обозначения частей некоторых объектов. Например:

• 2/3 (читается две трети) жителей города,
• 1/5 (одна пятая) комнаты и тому подобное.

Правильные и неправильные дроби

Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильным, пример: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3 \over 5} .

Если числитель больше знаменателя или равен ему, то такая дробь называется неправильной, пример: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 7 \over 2} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2 \over 2} .

Неправильные дроби принято представлять в виде смешанных чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {7 \over 2}=3{1 \over 2}} .

Для того, чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Например, дробью 7/2 можно записать результат деления числа 7 на число 2. Тогда целую и дробную части смешанного числа можно найти так:

1. Выполняем деление 7:2 = 3 (остаток 1).
2. Полученное неполное частное (3) будет целой частью смешанного числа,
3. Остаток (1) будет числителем дробной части.

Операции над дробями

Сложение

Суммой двух дробей с общим (одинаковым) знаменателем является дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен общему знаменателю слагаемых. Таким образом, чтобы сложить две дроби a: b и c: d, следует сначала свести их к общему знаменателю, то есть умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой, Таким образом мы получим две дроби с одинаковыми знаменателями:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}} }

Вычитание

По аналогии со сложением дробей, определяется их разность:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}} }

То есть, изменив знак числителя второго слагаемого на противоположный, мы просто складываем их.

Умножение

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если числитель одной дроби и знаменатель той же или другой дроби образуют сократимую дробь, то её можно сократить.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{ a \over b } * { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }}}

Если умножить дробь на её знаменатель, получится его числитель:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a}{b}\times b=a}
Произведением двух взаимно простых дробей всегда будет единица:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {a \over b}\times{b \over a}=1}

Деление

Частным двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель — произведением знаменателя делимого на числитель делителя:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}}

Пропорции

Пропорции используют дроби для представления отношений, то есть тот факт, что отношение определенных составных частей двух предметов к соответствующему целого предмета является одинаковым. Подается этот факт как правило в форме:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle { a \over b } = { c \over d }}

Производные пропорции

Из этого факта выводятся формулы для производных пропорций:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c+ n d} \over {p c + q d}}}

где

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p a + q b \ne 0}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p c + q d \ne 0}

Вывод:

Из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle { a \over b } = { c \over d }} следует (умножим левую и правую часть равенства на b):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle { a } = { {c b} \over d }}

Подставим полученное выражение для a в формулу производной пропорции:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} = {{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} = {{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} = {{{b(m c + n d)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}}

Частные случаи

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{a \pm b} \over b} = {{c \pm d} \over d}} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}}

Очевидно,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a + b \ne 0}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c + d \ne 0}

Литература

• Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»
• Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка XXI», 2008. — 544 с.