Задача фараона

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рисунок к задаче

Задача фараона или колодец лотоса — одна из задач занимательной математики[1]. Опубликована в журнале «Наука и Жизнь» № 1 за 1966 год, причем в публикации утверждалось, что якобы была сформулирована в 8 веке до н. э и прародитель «неразрешимых задач», таких, как «трисекция угла», «удвоение куба» (задача Дельфийского оракула) и «квадратура круга». Независимых подтверждений этому не известно, то есть скорее всего это мистификация автора статьи в «Науке и жизни».

В статье указан математический метод решения задачи. Ответом является иррациональное алгебраическое число, которое является корнем алгебраического уравнения 8 степени.

Условие[править]

В круглом колодце налита вода на одну единицу длины. Две разновеликие тростинки, с длиной 2 и 3 единицы соответственно, одними концами упираются в дно колодца, а другими концами опираются на его стены. Тростинки пересекаются на уровне налитой в колодец воды. Какова ширина (диаметр) колодца?

Другая («современная») формулировка:

На дно колодца опустили две палки длиной 2 м и 3 м так, что они пересекаются. Расстояние от их пересечения до дна составляет 1 м. Найти диаметр основания.

Решение[править]

Задача сводится к нахождению положительного корня уравнения [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{9-d^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-d^2}}=1 }[/math]. Далее любой подстановкой, снижающей степень (например, [math]\displaystyle{ d^2=t+6{,}5 }[/math]) уравнение преобразуется к уравнению четвёртой степени, которое решается, например, методом Феррари и с помощью формулы Кардано.

В итоге получается ответ [math]\displaystyle{ d\approx 1{,}23119\ldots }[/math].

Общая формула[править]

Есть более общая формулировка задачи[2]

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2-d^2}\cdot \sqrt{b^2-d^2}}{\sqrt{a^2-d^2}+\sqrt{b^2-d^2}}=h }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина меньшей тростинки; [math]\displaystyle{ b }[/math] — длина большей тростинки; [math]\displaystyle{ h }[/math] — расстояние от пересечения тростинок до дна.

Целочисленное решение: [math]\displaystyle{ a=104\,;\,b=296\,;\,d=96\,;\,h=35 }[/math].

Суть геометрического решения[править]

Задачу можно рассматривать как задачу на геометрические построения с циркулем и линейкой.

Если продлить меньшую диагональ трапеции до пересечения с прямой, параллельной дну колодца, но исходящей от точки касания стены колодца и большой тростинки, то мы получаем отрезок с длиной, равной произведению дна на уменьшенную на один боковую стенку. А это есть номограмма, в которой после задания отрезка единичной длины можно находить результат умножения, деления и возведения в степень. Таким образом, задача может сводиться к умению пользоваться номограммой для нахождения иррациональных чисел.

Источники[править]

  1. Первая публикация была в журнале «Наука и Жизнь» № 1 за 1966 год, стр. 136.
  2. Статья https://proza.ru/2021/01/27/1742