Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии // Первый образовательный телеканал [4:39]

15.04 Закон сохранения полной механической энергии [38:08]

Закон сохранения энергии в физике, принцип, согласно которому полная энергия замкнутой системы сохраняется на протяжении времени. Энергия не возникает из ничего и не исчезает в никуда, а может только превращаться из одной формы в другую. Из-за этого закона невозможны вечные двигатели первого рода. Закон был изобретен независимо для разных видов энергии многими учеными, среди которых Готфрид Лейбниц — для кинетической энергии, Джеймс Джоуль — для внутренней энергии, Джон Пойнтинг — для электромагнитной энергии. Предвосхитивший закон сохранения энергии общий принцип, что материя всегда сохраняется, был сформулирован М. В. Ломоносовым в письме к Л. Эйлеру (5 июля 1748 года).

Закон сохранения механической энергии

В механике закон сохранения энергии утверждает, что в замкнутой системе частиц, полная энергия, которая является суммой кинетической и потенциальной энергии и не зависит от времени, то есть является интегралом движения. Закон сохранения энергии справедлив только для замкнутых систем, то есть при отсутствии внешних полей или взаимодействий.

Силы взаимодействия между телами, для которых выполняется закон сохранения механической энергии называются консервативными силами. Закон сохранения механической энергии не выполняется для сил трения, поскольку при наличии сил трения происходит преобразование механической энергии в тепловую.

Математическая формулировка

Эволюция механической системы материальных точек с массами $m_{i}$ по второму закону Ньютона удовлетворяет системе уравнений

$m_{i}{\dot {\mathbf {v} _{i}}}=\mathbf {F} _{i}$,

где $\mathbf {v} _{i}$ — скорости материальных точек, а $\mathbf {F} _{i}$ — силы, действующие на эти точки.

Если подать силы, как сумму потенциальных сил $\mathbf {F} _{i}^{p}$ и непотенциальных сил $\mathbf {F} _{i}^{d}$, а потенциальные силы записать в виде

$\mathbf {F} _{i}^{p}=-\nabla _{i}U(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots \mathbf {r} _{N})$,

то, домножив все уравнения на $\mathbf {v} _{i}$ можно получить

${\frac {d}{dt}}\sum _{i}{\frac {mv_{i}^{2}}{2}}=-\sum _{i}{\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}\cdot \nabla _{i}U(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots \mathbf {r} _{N})+\sum _{i}{\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}\cdot \mathbf {F} _{i}^{d}$

Первая сумма в правой части уравнения является ни чем иным, как производной по времени от сложной функции, а следовательно, если ввести обозначения

$E=\sum _{i}{\frac {mv_{i}^{2}}{2}}+U(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots \mathbf {r} _{N})$

и назвать эту величину механической энергией, то, интегрируя уравнения с момента времени t=0 до момента времени t, можно получить

$E(t)-E(0)=\int _{L}\mathbf {F} _{i}^{d}\cdot d\mathbf {r} _{i}$,

где интегрирование проводится вдоль траекторий движения материальных точек.

Таким образом, изменение механической энергии системы материальных точек со временем равно работе непотенциальных сил.

Закон сохранения энергии в механике выполняется только для систем, в которых все силы потенциальные.

Однородность времени

Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а именно с принципом, согласно которому ни одно мгновение никоим образом не отличается от другого, поэтому одинаковые физические системы при одинаковых условиях всегда эволюционируют одинаково. В этом закон сохранения энергии является частным случаем общей теоремы Нётер.

С точки зрения аналитической механики, однородность времени сводится к утверждению, что механика Лагранжа или Гамильтона классической системы не зависит от времени непосредственно, а только опосредованно, через обобщенные координаты.

Закон сохранения энергии в термодинамике

В термодинамике закон сохранения энергии устанавливает соотношение между внутренней энергией тела, количеством теплоты, переданного телу и проделанной работой.

Термодинамика изучает в основном неподвижные тела, кинетическая и потенциальная энергия которых остается неизменной. Однако, эти тела могут выполнять работу над другими телами, если, например, изменять их температуру. Итак, поскольку нагретое тело может выполнять работу, оно имеет определенную энергию. Эта энергия получила название внутренней энергии. С точки зрения физики микромира — физики атомов и молекул, внутренняя энергия тела является суммой кинетических и потенциальных энергий частиц, из которых это тело состоит. Однако, учитывая большое количество и малые размеры частиц и вообще неизвестные законы их взаимодействия, внутреннюю энергию тела определить трудно, исходя из его строения. Однако очевидно, что она зависит от температуры тела.

Определяющим моментом для установления закона сохранения энергии стало установление эквивалентности между теплом, количественной характеристикой которого является количество теплоты, и механической работой. Если телу предоставить определенное количество теплоты Q, то часть ее пойдет на выполнение механической работы A, а часть на увеличение внутренней энергии тела:

$Q=A+\Delta E$,

Эта формула составляет основу первого закона термодинамики.

Аналогичным образом при выполнении механической работы, часть энергии теряется в виде тепла, то есть идет на повышение температуры тела и окружающей среды.

В общем суммарный приток энергии в систему должен быть равен суммарному оттоку энергии из системы, плюс изменение энергии тел, из которых состоит сама система. Другими словами, энергия может быть преобразована из одной формы в другую, но не может быть создана или уничтожена.

Уравнение непрерывности

В неизолированных физических системах энергия может переплывать с одной пространственной части системы к другой. В таком случае закон сохранения энергии принимает вид уравнения непрерывности

${\frac {dw}{dt}}+{\text{div}}\,\mathbf {J} _{E}=0$,

где $w$ — плотность энергии, $\mathbf {J} _{E}$ — плотность потока энергии.

Это уравнение означает, что изменение энергии определенного элементарного объема со временем равно разнице между притоком энергии в этот элементарный объем и оттоком энергии из него.

Так выглядит, в частности уравнение теплопроводности.

Преобразование энергии

Энергия одного вида может превращаться в энергию другого вида, например, химическая энергия может превращаться в тепловую, а тепловая энергия в механическую и тому подобное.

В молекуле химического соединения атомы связаны между собой химическими связями. Для того, чтобы разорвать химическую связь нужно затратить определенную энергию, значение которой определяется типом связи. В одних молекулах энергия связи больше, в других меньше. Так, энергия связи в молекуле углекислого газа СО₂ больше, чем суммарная энергия атома углерода в угле и атомов кислорода в молекуле кислорода O₂. Поэтому возможна химическая реакция горения, в результате которой образуется углекислый газ, а остатки химической энергии передаются поступательному, тепловому движению молекул, то есть превращаются в тепло. Выделенное в результате горения тепло можно использовать, например, для нагрева пара в паровой турбине, которая, вращаясь, создает электродвижущую силу в генераторе, производя электроэнергию. Электроэнергия может, в свою очередь использоваться для выполнения механической работы, например, подъема лифта, или же для освещения, где электрическая энергия превращается в энергию электромагнитных волн — света.

См. также

• Необратимость процессов в природе

Литература

• Залевски К. Феноменологическая и статистическая термодинамика. — М.: Мир, 1973. — 168 с.