Импульс

Импульс
${\vec {p}}=m{\vec {v}}$
Размерность	LMT−1
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина

Классическая механика

${\frac {\mathrm {d} (m{\vec {v}})}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}$ Второй закон Ньютона

История…

Фундаментальные понятия Пространство · Время · Масса · Сила Энергия · Импульс Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика Учёные Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Физика — импульс и закон сохранения импульса // Skill up [6:05]

Урок 104. Импульс. Закон сохранения импульса // Павел ВИКТОР [41:05]

Импульсом или вектором количества движения в классической механике называется мера механического движения тела, векторная величина, которая для материальной точки равна произведению массы точки на ее скорость и имеет направление скорости.

В системе СИ единицей измерения импульса является кг·м/с, в системе СГС — [г·см/с].

Сумма импульса для любой замкнутой системы является величиной постоянной.

История понятия

Понятие импульса ввел в начале XIV века Жан Буридан. Французский философ заметил, что брошенное тело продолжает двигаться тогда, когда на него перестает действовать сила руки. Способность тела сохранять движение Буридан назвал латинским словом impetus, таким образом введя в оборот понятие, которое в наше время называют импульсом.

Импульс в классической механике

В классической механике импульс (традиционно обозначается p) определяется как произведение массы тела m и его скорости v:

p =  m v.

Импульсом системы n материальных точек называется вектор P, равна геометрической сумме импульсов всех точек системы и является произведением суммарной массы системы M на скорость ее центра инерции v_c:

$\mathbf {P} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}={\mathit {M}}\mathbf {v} _{c}$

Изменение импульса системы может происходить только в результате внешнего воздействия, то есть в результате действия внешних сил. Никакими внутренними процессами и взаимодействием внутренних частей нельзя изменить суммарный импульс системы.

Изменение импульса тела пропорционально силе, которая вызывает это изменение, и промежутку времени, за который это изменение происходит (второй закон Ньютона):

$d\mathbf {p} =\mathbf {F} \cdot dt$.

Для замкнутой системы, то есть системы на которую не действуют никакие внешние силы, имеет место закон сохранения импульса. Величина импульса P такой системы остается векторной и постоянной, в то же время импульсы отдельных частей системы могут меняться в результате их взаимодействия. Этот закон объясняет реактивное движение, отбой при выстреле, работу гребного винта и тому подобное.

Обобщенный импульс

В аналитической механике понятие импульса обобщается согласно определению

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$,

где $L({\dot {q}},q,t)$ — функция Лагранжа, $q$ — обобщенная координата, а ${\dot {q}}$ — обобщенная скорость.

Импульс в релятивистской механике

Определение импульса было изменено в специальной теории относительности для того, чтобы оно оставалось инвариантным до релятивистских преобразований и определяется как четырехкомпонентный вектор, или 4-импульс:

$p^{i}=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)$

uде $c$ — константа скорости света, $E$ — полная энергия системы, $\mathbf {p}$ — пространственный вектор, отвечающий «обычному» импульсу в релятивистских условиях.

Импульс $\mathbf {p}$ частицы с массой m определяется как

$\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$.

Выражение для импульса в релятивистской механике при v = c равняется бесконечности, если масса не равна нулю. Таким образом частицы с ненулевой массой могут двигаться только со скоростью меньшей скорости света.

4-импульс $p^{i}$ связан с 4-ступенчатой $u^{i}$ формулой $p^{i}=mcu^{i}$. Учитывая соотношение $u^{i}u_{i}=1$, можно получить связь между энергией и импульсом тела:

${\frac {{\mathit {E}}^{2}}{{\mathit {c}}^{2}}}=\mathbf {p} ^{2}+m^{2}{\mathit {c}}^{2}$.

Из этой формулы следует, что объекты с нулевой массой, такие как фотоны, также имеют импульс, равный p=E/c, где E — энергия фотона, а c — скорость света.

При переходе к другим инерциальным системам отсчета импульс меняется по формулам преобразований Лоренца.

В специальной теории относительности взаимодействие распространяется с конечной скоростью, которая не может превышать скорость света в вакууме. То есть импульс излученный одной долей передается в другие не мгновенно, и, следовательно, суммарный импульс всех частиц не сохраняется. Но закон сохранения выполняется и в том случае, если учитывать импульс, принадлежащий полю — носителю взаимодействия, которому приписывают плотность импульса и плотность потока импульса.

Импульс в квантовой механике

В квантовой механике, импульс определяется как оператор над волновой функцией, которая коммутирует с гамильтонианом системы и сохранение которого следует из однородности пространства. Принцип неопределенности Гайзенберга определяет границу погрешности, с которой координата частицы может быть измерена одновременно с соответствующей компонентой импульса вдоль той же оси. В квантовой механике погрешности измерения координаты частицы $\Delta x$ и соответствующей компоненты импульса $\Delta p_{x}$ не могут одновременно равняться нулю:

$\Delta p_{x}\Delta x\geq \hbar$.

Для отдельной частицы с нулевым электрическим зарядом и спином, оператор импульса ${\widehat {\mathbf {p} }}$ определяется как

${\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$

где $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ — оператор градиента.

Поскольку результат дифференцирования по двум независимым переменным не зависит от порядка дифференцирования, то операторы трех компонентов импульса коммутативные:

${\begin{matrix}{\widehat {\mathbf {p} }}_{x}{\widehat {\mathbf {p} }}_{y}-{\widehat {\mathbf {p} }}_{y}{\widehat {\mathbf {p} }}_{x}=0,\\{\widehat {\mathbf {p} }}_{x}{\widehat {\mathbf {p} }}_{z}-{\widehat {\mathbf {p} }}_{z}{\widehat {\mathbf {p} }}_{x}=0,\\{\widehat {\mathbf {p} }}_{y}{\widehat {\mathbf {p} }}_{z}-{\widehat {\mathbf {p} }}_{z}{\widehat {\mathbf {p} }}_{y}=0.\end{matrix}}$

Из этого следует, что все три компонента импульса могут одновременно иметь определенные точные значения.

Собственные функции и собственные значения оператора импульса являются решениями уравнения:

$-i\hbar \nabla \psi =\mathbf {p} \psi$

и имеют следующий вид:

$\psi ={\text{const}}\cdot e^{i\mathbf {pr} /\hbar }$.

Терминологические нюансы

В англоязычной традиции, импульс называется «момент» (momentum), тогда как англоязычный «импульс» (impulse) соответствует изменению импульса $\Delta \mathbf {p}$.