Интегральное тождество Эрмита

← другие значения

Интегра́льное то́ждество Эрми́та — тождество, использованное Ш. Эрмитом (1873) для доказательства трансцендентности числа e.

Формулировка

Если $f(x)$ — многочлен степени $m$ с действительными или комплексными коэффициентами, то

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_0^x e^{-t}f(t)\,dt = F(0)-F(x)e^{-x},}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)=\sum_{k=0}^m f^{(k)}(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)+\ldots+f^{(m)}(x).}

Иногда интегральное тождество Эрмита записывают в равносильной форме:

$F(0)e^{x}-F(x)=e^{x}\int \limits _{0}^{x}e^{-t}f(t)\,dt,$

а функцию $F(x)$ определяют эквивалентным (не зависящим от степени многочлена $f$) равенством $F(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }f^{(k)}(x)$.

Доказательства

Доказательство с помощью интегрирования по частям

Интегрируя по частям, приходим к равенству:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_0^x f(t)e^{-t}\,dt = \int\limits_0^xf(t)\,d(-e^{-t}) = \Bigl.-f(t)e^{-t}\Bigr|_0^x + \int\limits_0^x f'(t)e^{-t}\,dt =f(0)-f(x)e^{-x} + \int\limits_0^x f'(t)e^{-t}\,dt.}

Это преобразование можно продолжить, таким же образом проинтегрировав по частям выражение $\int \limits _{0}^{x}f'(t)e^{-t}\,dt$ и т. д. В конечном счёте, поскольку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f^{(m+1)}(x)\equiv 0} , получим требуемое:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_0^x f(t)e^{-t}\,dt = f(0)-f(x)e^{-x} + f'(0)-f'(x)e^{-x}+\ldots + f^{(m)}(0)-f^{(m)}(x)e^{-x}=F(0)-F(x)e^{-x}.}

Доказательство с помощью дифференцирования

Заметим, что производные обеих частей доказываемого тождества равны:

${\biggl (}\int \limits _{0}^{x}f(t)e^{-t}\,dt{\biggr )}'=f(x)e^{-x}$ (дифференцирование определённого интеграла по верхнему пределу),

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (F(0)-F(x)e^{-x})'=-F'(x)e^{-x} +F(x)e^{-x} =(F(x)-F'(x))e^{-x}=f(x)e^{-x}} ,

поэтому разность этих частей есть константа. Но обе они обращаются в нуль при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0} , следовательно, они равны.

Литература

• Эрмита тождество // Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5 Слу—Я. — Стб. 1017.
• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — 2-е изд.. — М.: Изд-во МГУ, 1995. — 158 с. — ISBN 5-211-03075-3.
• Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2008. — С. 156—157. — 190 с. — ISBN 978-5-9221-0741-9.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — С. 243. — 272 с. — (Высшее профессиональное образование. Физико-математические науки). — 2000 экз. — ISBN 978-5-7695-4646-4.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Интегральное тождество Эрмита», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Интегральное_тождество_Эрмита» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».