Квадрат (алгебра)

← другие значения

Квадрат в алгебре — это возведение во степень два. Название связано с геометрической ассоциацией: площадь квадрата на плоскости — сторона, помноженная на саму себя.

В школьной программе решаются квадратичные уравнения. Нахождение корня такого уравнение в примитивном случае, например $x^{2}=4$, требует операции извлечения квадратного корня, для $x^{2}=4$ значение будет $x=\pm 2$.

В общем случае для выражения

$ax^{2}+bx+c=0,\,$

корни вычисляются по формуле

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Эта формула выводится так:

$ax^{2}+bx+c=0,$

$ax^{2}+bx=-c$

Перемножаем на $4a$ и прибавляем $b^{2}$:

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

$(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}$

$2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}$

$2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Если корень квадратичного уравнения иррационален, то его можно представить периодичной цепной дробью, и наоборот, что доказали, соответственно, Эйлер и Лагранж.

Квадратичная форма

Квадратичная форма — это выражение с несколькими переменными и возведениями в квадрат. Ею, в частности, выражаются функции для конических сечений.