Координатно-векторный метод решения

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Координатно-векторный метод решения — метод решения в стереометрии, с помощью которого можно решать трудные задачи, при этом избегая громоздких доказательств и усложнённых построений. Этот метод позволяет свести геометрическую задачу к алгебраической.

Главное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат[1].

Методы[править]

Алгоритм[править]

Алгоритм решения задачи векторно-координатным методом может состоять из следующих этапов:

  1. Перевести задачу с геометрического языка на векторный или векторно-координатный;
  2. Ввести систему координат в пространстве наиболее рациональным способом;
  3. Найти координаты требуемых точек и векторов или составить уравнение плоскости;
  4. Произвести вычисления по известным формулам;
  5. Возвращаясь к исходной задаче, перевести задачу с векторного языка на геометрический и записать ответ.

Последовательность действий является условной, так как каждый этап взаимозависим с предыдущими и последующими этапами[2].

Координатный метод[править]

 → Система координат

Метод координат — способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Метод заключается во введении декартовой системы координат и нахождении образующихся векторов (их длин и углов между ними)[1][3].

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций[1].

Для того, чтобы приступить к решению стереометрических задач методом координат, необходимо понимать, что из себя представляет прямоугольная (декартова) система координат в пространстве[1].

Прямоугольная (декартова) система координат — совокупность точки О (начало координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (оси координат: Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат), на каждой из которых обозначено направление положительного отсчёта. Образовавшиеся плоскости хОу, уОz и zOx являются координатными, а каждая точка в пространстве ставится в соответствии с её координатами (тремя числами)[1].

Файл:Перпендикулярные прямые.png
Перпендикулярные прямые Ox, Oy и Oz

Для того чтобы пользоваться координатным методом решения задач, необходимо разбираться в таких формулах как:

  • Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=AB} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A (x_1;y_1;z_1)} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B (x_2;y_2;z_2)} ;
  • Нахождение координат середины отрезка A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\frac{y_1+y_2}{2}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=\frac{z_1+z_2}{2}} ;
  • Нахождение косинуса угла между векторами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\overset{\frown}{\bar{a},\bar{b}})=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{2x_2^2+y_2^2+z_2^2}}} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{a}[x_1;y_1;z_1]} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{b}[x_2;y_2;z_2]} ;
  • Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок, ограниченный точками А (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1,y_1,z_1} ) и B (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2,y_2,z_2} ), в отношении, определяется по формулам Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\frac{x_1+\lambda x_3}{1+\lambda}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\frac{y_1+\lambda y_3}{1+\lambda}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=\frac{z_1+\lambda z_3}{1+\lambda}} ;
  • Расстояние от точки до плоскости Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho (M;a) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} .

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Векторный метод[править]

 → Вектор (геометрия)

Векторы это направленные отрезки, имеющие начало и конец, которые определяются в пространстве так же, как и на плоскости. Разница состоит в том, что в пространстве вектор задаётся тремя координатами x, y и z: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(x_a;y_a;z_a)} [4].

Координаты вектора в пространстве находятся аналогично координатам вектора на плоскости, то есть из координаты конца вычитаем координату начала:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\vec{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_b-z_A)} .

Длина вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{AB}} в пространстве — это расстояние между точками A и B, которая находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mid\vec{a}\mid =\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}} .

Для решения задач также необходимо знать следующие правила:

  1. Сложение векторов[5];
  2. Вычитание векторов[5];
  3. Умножение вектора на число[5];
  4. Скалярное произведение векторов[5].

См. также[править]

Примечания[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Уразалиева С. С. Решение задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом. 4ЕГЭ. Проверено 3 февраля 2024.
  2. ↑ Сюнюшев А. П. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач. // Информация и образование: границы коммуникаций INFO. : Международная научно-практическая конференция. — 2018. — № 10. — С. 18.
  3. ↑ Урок № 3. Координатный метод решения задач. Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа». Проверено 3 февраля 2024.
  4. ↑ А. Г. Малкова Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2. EGE-Study.ru. Проверено 3 февраля 2024.
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами. ЕГЭ-Студия. Проверено 3 февраля 2024.

Литература[править]

  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 10 — 11: Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 13-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 206 с.: ил.
  • Корянов А. Г, Прокофьев А. А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач и методы их решения»
  • Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия /Г. Вилейтнер. — М.: Физматгиз, 1960. — 469 с. 4.
  • Гельфанд, И. М. Метод координат : учебное пособие / И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, А. А. Кириллов. — 7-е изд., стер. — Москва: МЦНМО, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-94057-533-7.
  • Смирнова, И. М. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 2-е изд., перераб. И доп. — М.: Издательство «Экзамен», 2009. — 158, [2] с.

Ссылки[править]

Рувики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Координатно-векторный метод решения», расположенная по адресу:

—https://ru.ruwiki.ru/wiki/Координатно-векторный_метод_решения

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Координатно-векторный_метод_решения&oldid=2038830