Координатно-векторный метод решения

{{#seo: |description=Координатно-векторный метод решения — РУВИКИ: новая Интернет-энциклопедия }} Координатно-векторный метод решения — метод решения в стереометрии, с помощью которого можно решать трудные задачи, при этом избегая громоздких доказательств и усложнённых построений. Этот метод позволяет свести геометрическую задачу к алгебраической.

Главное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат.

Методы

Алгоритм

Алгоритм решения задачи векторно-координатным методом может состоять из следующих этапов:

1. Перевести задачу с геометрического языка на векторный или векторно-координатный;
2. Ввести систему координат в пространстве наиболее рациональным способом;
3. Найти координаты требуемых точек и векторов или составить уравнение плоскости;
4. Произвести вычисления по известным формулам;
5. Возвращаясь к исходной задаче, перевести задачу с векторного языка на геометрический и записать ответ.

Последовательность действий является условной, так как каждый этап взаимозависим с предыдущими и последующими этапами.

Координатный метод

 → Система координат

Метод координат — способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Метод заключается во введении декартовой системы координат и нахождении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Для того, чтобы приступить к решению стереометрических задач методом координат, необходимо понимать, что из себя представляет прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат — совокупность точки О (начало координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (оси координат: Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат), на каждой из которых обозначено направление положительного отсчёта. Образовавшиеся плоскости хОу, уОz и zOx являются координатными, а каждая точка в пространстве ставится в соответствии с её координатами (тремя числами).

Файл:Перпендикулярные прямые.png

Перпендикулярные прямые Ox, Oy и Oz

Для того чтобы пользоваться координатным методом решения задач, необходимо разбираться в таких формулах как:

• Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$ , где $d=AB$, $A(x_{1};y_{1};z_{1})$, $B(x_{2};y_{2};z_{2})$;
• Нахождение координат середины отрезка A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2) $x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$, $y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$, $z={\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}$;
• Нахождение косинуса угла между векторами $\cos({\overset {\frown }{{\bar {a}},{\bar {b}}}})={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}{\sqrt {2x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}}}$ , где ${\bar {a}}[x_{1};y_{1};z_{1}]$ и ${\bar {b}}[x_{2};y_{2};z_{2}]$;
• Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок, ограниченный точками А ($x_{1},y_{1},z_{1}$) и B ($x_{2},y_{2},z_{2}$), в отношении, определяется по формулам $x={\frac {x_{1}+\lambda x_{3}}{1+\lambda }}$, $y={\frac {y_{1}+\lambda y_{3}}{1+\lambda }}$, $z={\frac {z_{1}+\lambda z_{3}}{1+\lambda }}$;
• Расстояние от точки до плоскости $\rho (M;a)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Векторный метод

 → Вектор (геометрия)

Векторы это направленные отрезки, имеющие начало и конец, которые определяются в пространстве так же, как и на плоскости. Разница состоит в том, что в пространстве вектор задаётся тремя координатами x, y и z: ${\vec {a}}(x_{a};y_{a};z_{a})$.

Координаты вектора в пространстве находятся аналогично координатам вектора на плоскости, то есть из координаты конца вычитаем координату начала:

${\vec {a}}={\vec {AB}}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{b}-z_{A})$.

Длина вектора ${\vec {AB}}$ в пространстве — это расстояние между точками A и B, которая находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

$\mid {\vec {a}}\mid ={\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}$.

Для решения задач также необходимо знать следующие правила:

1. Сложение векторов;
2. Вычитание векторов;
3. Умножение вектора на число;
4. Скалярное произведение векторов.

См. также

• Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам
• Правило параллелепипеда
• Система координат
• Векторы

Литература

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 10 — 11: Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 13-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 206 с.: ил.
• Корянов А. Г, Прокофьев А. А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач и методы их решения»
• Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия /Г. Вилейтнер. — М.: Физматгиз, 1960. — 469 с. 4.
• Гельфанд, И. М. Метод координат : учебное пособие / И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, А. А. Кириллов. — 7-е изд., стер. — Москва: МЦНМО, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-94057-533-7.
• Смирнова, И. М. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 2-е изд., перераб. И доп. — М.: Издательство «Экзамен», 2009. — 158, [2] с.

Ссылки

• Геометрия на ЕГЭ
• Векторы на ЕГЭ по математике

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Рувики» («Багопедия», «ruwiki.ru») под названием «Координатно-векторный метод решения», находящаяся по адресу: «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Координатно-векторный_метод_решения» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»