Правило параллелепипеда

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Правило параллелепипеда — правило в математике/геометрии, которое позволяет вычислять объём параллелепипеда, используя векторное произведение трёх векторов, определяющих его стороны.

Определения[править]

  • Некомпланарные векторы — три вектора называются некомпланарными, если концы равных им векторов, отложенных от одной точки, не находятся в общей плоскости с их начальной точкой[1].
  • Направленный вектор — это отрезок, у которого известны точка его начала и точка его конца[2].
  • Сонаправленные векторы — векторы, которые направленны в одну сторону[2].
  • Противонаправленные векторы — векторы, которые направленны в разные стороны[2].
  • Равные векторы — векторы, которые коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину[2].
  • Коллинеарные векторы — два отличных от нуля вектора, которые находятся на одной прямой или параллельных прямых[3].

Правило[править]

Согласно правилу, чтобы получить сумму двух векторов, нужно отложить эти векторы из произвольной точки и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из этой точки, и будет суммой векторов[4].

Также, если три вектора Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{a}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{b}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{c}} после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то их сумма равна диагонали параллелепипеда:

d=Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{a}} +Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{b}} +Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{c}}

Правило параллелепипеда часто применяется для сложения трёх некомпланарных векторов[5].

Пример 1[править]

Необходимо провести три вектора от общей начальной точки А[2][4].

Файл:Векторы.png
Три вектора, проведённые из одной точки

На получившихся трёх рёбрах можно построить параллелепипед.

Диагональ Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AC_1} образованного параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, что и ранее проведённые вектора, изображает суммы векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AD}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AA_1}} [2][4].

Файл:Параллелепипед с векторами и диагональю.png
Параллелепипед с векторами и диагональю

Пример 2[править]

Рассмотрим некомпланарные векторы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{a}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{b}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{c}} .

Файл:Параллелепипед с векторами диагональю2.jpg
Параллелепипед, построенный на векторах

От произвольной точки О пространства отложим векторы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} равные векторам Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{a}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{b}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{c}} соответственно.

На полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его рёбрами.

Построим вектор суммы векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} , при этом складывая их последовательно.

Вектором суммы векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} , по правилу параллелограмма, будет вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OE}} . Вектором суммы векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OE}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}}  по тому же правилу будет вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OD}} . Вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OD}} равен сумме векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} , а значит равен сумме векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{a}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{b}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{c}} .

См. также[править]

Примечания[править]

  1. ↑ Некомпланарные векторы. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Проверено 30 января 2024.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Основные сведения о сложении векторов по правилу параллелепипеда. tutoronline.ru. Проверено 31 января 2024.
  3. ↑ Коллинеарные, равные, противоположные векторы. ЯКласс. Проверено 30 января 2024.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 Презентация по геометрии в 10 классе на тему "Компланарные векторы. Правило параллелепипеда". Инфоурок (2020-04-13). Проверено 31 января 2024.
  5. ↑ Artman Сложение и вычитание векторов. matematicus.ru (2019-04-11). Проверено 31 января 2024.

Литература[править]

  • Смирнова И. М. Смирнов В. А. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.
  • Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. — М.: Дрофа, 1999. — 208 с.: ил.
  • Потоскуев Е. В. Звалич Л. И. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2008. — 233 с.: ил.
  • Атанасян Л. С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2013. −383 с.
  • Барский И. Б., Тимофеев Г. Н. Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие / И. Б. Барский, Г. Н. Тимофеев. — Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. — 636 с.

Ссылки[править]

Рувики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Правило параллелепипеда», расположенная по адресу:

—https://ru.ruwiki.ru/wiki/Правило_параллелепипеда

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Правило_параллелепипеда&oldid=2030164