Правило параллелепипеда

{{#seo: |description=Правило параллелепипеда — РУВИКИ: новая Интернет-энциклопедия }} Правило параллелепипеда — правило в математике/геометрии, которое позволяет вычислять объём параллелепипеда, используя векторное произведение трёх векторов, определяющих его стороны.

Определения

• Некомпланарные векторы — три вектора называются некомпланарными, если концы равных им векторов, отложенных от одной точки, не находятся в общей плоскости с их начальной точкой.
• Направленный вектор — это отрезок, у которого известны точка его начала и точка его конца.
• Сонаправленные векторы — векторы, которые направленны в одну сторону.
• Противонаправленные векторы — векторы, которые направленны в разные стороны.
• Равные векторы — векторы, которые коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину.
• Коллинеарные векторы — два отличных от нуля вектора, которые находятся на одной прямой или параллельных прямых.

Правило

Согласно правилу, чтобы получить сумму двух векторов, нужно отложить эти векторы из произвольной точки и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из этой точки, и будет суммой векторов.

Также, если три вектора ${\overrightarrow {a}}$, ${\overrightarrow {b}}$, ${\overrightarrow {c}}$ после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то их сумма равна диагонали параллелепипеда:

d=${\overrightarrow {a}}$+${\overrightarrow {b}}$+${\overrightarrow {c}}$

Правило параллелепипеда часто применяется для сложения трёх некомпланарных векторов.

Пример 1

Необходимо провести три вектора от общей начальной точки А.

Файл:Векторы.png

Три вектора, проведённые из одной точки

На получившихся трёх рёбрах можно построить параллелепипед.

Диагональ $AC_{1}$ образованного параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, что и ранее проведённые вектора, изображает суммы векторов ${\overrightarrow {AB}}$, ${\overrightarrow {AD}}$, ${\overrightarrow {AA_{1}}}$.

Файл:Параллелепипед с векторами и диагональю.png

Параллелепипед с векторами и диагональю

Пример 2

Рассмотрим некомпланарные векторы ${\overrightarrow {a}}$, ${\overrightarrow {b}}$, ${\overrightarrow {c}}$.

Файл:Параллелепипед с векторами диагональю2.jpg

Параллелепипед, построенный на векторах

От произвольной точки О пространства отложим векторы ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {OC}}$ равные векторам ${\overrightarrow {a}}$, ${\overrightarrow {b}}$, ${\overrightarrow {c}}$ соответственно.

На полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его рёбрами.

Построим вектор суммы векторов ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {OC}}$, при этом складывая их последовательно.

Вектором суммы векторов ${\overrightarrow {OA}}$ и ${\overrightarrow {OB}}$, по правилу параллелограмма, будет вектор ${\overrightarrow {OE}}$. Вектором суммы векторов ${\overrightarrow {OE}}$ и ${\overrightarrow {OC}}$ по тому же правилу будет вектор ${\overrightarrow {OD}}$. Вектор ${\overrightarrow {OD}}$ равен сумме векторов ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {OC}}$, а значит равен сумме векторов ${\overrightarrow {a}}$, ${\overrightarrow {b}}$, ${\overrightarrow {c}}$.

См. также

• Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам
• Правило параллелограмма
• Прямая

Литература

• Смирнова И. М. Смирнов В. А. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.
• Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. — М.: Дрофа, 1999. — 208 с.: ил.
• Потоскуев Е. В. Звалич Л. И. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2008. — 233 с.: ил.
• Атанасян Л. С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2013. −383 с.
• Барский И. Б., Тимофеев Г. Н. Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие / И. Б. Барский, Г. Н. Тимофеев. — Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. — 636 с.

Ссылки

• Перпендикулярность прямых и плоскостей. Векторы в пространстве
• Сложение векторов по правилу параллелограмма

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Рувики» («Багопедия», «ruwiki.ru») под названием «Правило параллелепипеда», находящаяся по адресу: «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Правило_параллелепипеда» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»