Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам

{{#seo: |description=Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам — РУВИКИ: новая Интернет-энциклопедия }} Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам — фундаментальное утверждение в линейной алгебре, утверждающее, что любой вектор в трёхмерном пространстве может быть представлен как линейная комбинация трёх некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов.

Определения

• Некомпланарные векторы — три вектора называются некомпланарными, если концы равных им векторов, отложенных от одной точки, не находятся в общей плоскости с их начальной точкой.

• Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости; три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, будучи приведёнными к общему началу;
  • Компланарные векторы — векторы, которые оказываются в одной плоскости, при откладывании из одной и той же точки в пространстве.
• Коллинеарные векторы — два отличных от нуля вектора, которые находятся на одной прямой или параллельных прямых.
• Оси координат — прямые x, y, z с выбранными направлениями на них.
• Начало координат — точка их пересечения О. Оси координат в пространстве обозначают Ox, Oy, Oz (ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно).
• Координатные векторы — единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением координатных осей.

Теорема

Любой вектор m может быть представлен в виде линейной комбинации трёх любых некомпланарных векторов а, b и с. Если даны три некомпланарных вектора a, b и c, то любой вектор m в этом пространстве может быть выражен как m=xa+yb+zc, где x, y, и z — скалярные коэффициенты.

Это ключевая теорема для понимания концепций векторных пространств, имеющая широкое применение в физике, инженерии и других научных дисциплинах, где важно представление и анализ векторов.

Доказательство

Пусть вектор m не компланарен ни с какими двумя векторами из векторов а, b, с.

Файл:Параллелепипед с векторами.gif

Праллелепипед с обозначенными векторами.

Приведём все векторы к единому началу в токе О, а затем проведём через точку М (конец направленного отрезка, изображающего вектор ${\overrightarrow {OM}}$ = т) прямую, параллельную вектору с. Эта прямая пересечёт плоскость ОАВ в некоторой точке N. Тогда можно сказать, что:

${\overrightarrow {OM}}$ = ${\overrightarrow {ON}}$ + ${\overrightarrow {NM}}$

По свойству коллинеарных векторов: ${\overrightarrow {NM}}$ = zc.

По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам существуют числа х, у такие, что ${\overrightarrow {ON}}$ = ха + уb. Таким образом:

${\overrightarrow {OM}}$ = ${\overrightarrow {ON}}$ + ${\overrightarrow {NM}}$ = xa + yb + zc.

Прежде всего, стоит помнить, что никакие два вектора из векторов а, b, с не коллинеарны; в противном случае векторы а, b, с были бы компланарны. Поэтому, если вектор m компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, с а и b), то m = ха + уb, а следовательно:

m = ха + уb + 0 • с.

При таком варианте, теорема доказана.

См. также

• Глоссарий планиметрии
• Правило параллелепипеда
• Вектор
• Прямая

Литература

• Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т.2.: Изд-во «Наука». 1974. — 479 с.
• Смирнова И. М. Смирнов В. А. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.
• Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. — М.: Дрофа, 1999. — 208 с.: ил.
• Потоскуев Е. В. Звалич Л. И. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2008. — 233 с.: ил.

Ссылки

• Практические работы по теме

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Рувики» («Багопедия», «ruwiki.ru») под названием «Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам», находящаяся по адресу: «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Теорема_о_разложении_вектора_по_трём_некомпланарным_векторам» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»