Метод Штурма

Метод Штурма — это метод доказательства истинности некоторых утверждений и формул.

Метод заключается в последовательном приближении исследуемой функции нескольких переменных к её экстремальному значению путём специальным образом организованного изменения значений (сдвигание и раздвигание) этих переменных.

Метод предложил немецкий математик Р. Штурм в 1884 г.

Обозначения

$n$ — число чисел;

$x_{i}$ — $i$-ое неотрицательное число;

$c$ — неотрицательное число;

$N_{n}$ — множество индексов.

Определения

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|>|a_{2}-b_{2}|$ , то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется сдвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением произведения.

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|<|a_{2}-b_{2}|$ , то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется раздвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением произведения.

Метод

Пример

${\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}$

Доказательство

Доказательство методом Штурма

Другие методы:

1. Метод математической индукции:
   1. индукция вверх 1;
   2. индукция вверх 2;
   3. индукция вверх 3;
   4. индукция вверх и вниз 1;
   5. индукция вверх и вниз 2;
   6. индукция вверх и вниз 3;
   7. индукция вверх и вниз 4.
2. Метод Штурма:
   1. метод Штурма с сохранением суммы 1;
   2. метод Штурма с сохранением суммы 2;
   3. метод Штурма с сохранением произведения 1;
   4. метод Штурма с сохранением произведения 2.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.60-63, 168 с.