Метод математической индукции для неравенства Коши

Доказательство методом математической индукции неравенства Коши использует индукцию вверх от n к 2n и индукцию вниз от n к n-1.

Обозначения

n – число чисел;

a_i – i-ое положительное число.

Формула неравенства

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}$

• Равенство имеет место только в том случае, когда все $a_{i}$ равны между собой.

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

• Идея доказательства общеизвестна, мне о ней рассказал в 1973 году В. Г. Евстигнеев — преподаватель математики МИЭИ им. С. Орджоникидзе.

Другие доказательства:

1. весовое неравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
2. весовое неравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
3. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
4. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
5. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
6. неравенство четырёх средних;
7. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы обратных единиц с числом;
8. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы обратных чисел;
9. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
10. неравенство Йенсена для неравенства Коши;
11. неравенство Коши для неравенства произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
12. неравенство Коши-Буняковского для неравенства треугольника в n-мерном пространстве;
13. неравенство Коши-Буняковского для неравенства чисел двух последовательностей;
14. неравенство Коши-Буняковского для неравенства чисел трёх последовательностей;
15. неравенство Коши-Буняковского для транснеравенства суммы квадратов чисел;
16. неравенство средневзвешенных для неравенства Коши;
17. неравенство Чебышёва для неравенства произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
18. неравенство чисел трёх последовательностей для неравенства чисел двух последовательностей;
19. обобщённое неравенство для весового неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
20. обобщённое неравенство для весового неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
21. обобщённое неравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
22. обобщённое неравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
23. транснеравенство для неравенства суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
24. транснеравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
25. транснеравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
26. транснеравенство для транснеравенства суммы квадратов чисел;
27. доказательство Бора неравенства Коши;
28. ММИ для неравенства Гюйгенса;
29. ММИ для неравенства Коробова;
30. ММИ для неравенства Коши;
31. ММИ для неравенства Коши-Буняковского;
32. ММИ для неравенства произведения единиц с дробями;
33. ММИ для неравенства средневзвешенных;
34. ММИ для неравенства суммы кубов возрастающих чисел;
35. ММИ для неравенства Фань Цзы;
36. ММИ для обобщённого неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
37. ММИ для обобщённого неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
38. ММИ для транснеравенства одномонотонных последовательностей;
39. ММИ для транснеравенства разномонотонных последовательностей;
40. ММИ Якобсталя для неравенства Коши;
41. МШ для неравенства произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
42. МШ для неравенства суммы обратных единиц с дробями;
43. МШ для неравенства суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
44. МШ для неравенства суммы обратных единиц с числом;
45. МШ для неравенства произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
46. МШ для неравенства произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
47. МШ для неравенства суммы квадратов дробей с единичной суммой;
48. МШ для неравенства Гюйгенса;
49. МШ для неравенства Коши.

Литература

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158.

Ссылки

• Участник:Logic-samara