Неравенство Коши

#167. НЕРАВЕНСТВО КОШИ О СРЕДНИХ // Wild Mathing [6:30]

Неравенство Коши (неравенство о средних) — неравенство для действительных чисел, гласящее, что среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Обозначения

n — число чисел;

a_i — i-ое положительное число;

b_i — это число, равное lna_i.

Формула неравенства

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}$

Следствия

$\ln {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln a_{1}+\ln a_{2}+\ldots +\ln a_{n}}{n}}\Leftrightarrow \ln \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}$

Доказательство

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Ссылки

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158.
• Участник:Logic-samara