Неравенство Коши

#167. НЕРАВЕНСТВО КОШИ О СРЕДНИХ // Wild Mathing [6:30]

Неравенство Коши (неравенство о средних) — неравенство для действительных чисел, гласящее, что среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Обозначения

n — число чисел;

$a_{i}$ — i-ое положительное число;

$b_{i}$ — это число, равное $\ln {a_{i}}$

Формула неравенства

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}}$

• Равенство имеет место только в том случае, когда все a _i равны между собой.

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=2n.

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

Следствия

$\ln {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln a_{1}+\ln a_{2}+\ldots +\ln a_{n}}{n}}\Leftrightarrow \ln \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}$

${\frac {e^{b_{1}}+e^{b_{2}}+\ldots +e^{b_{n}}}{n}}\geq e^{\frac {b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}{n}}\Leftrightarrow \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}e^{b_{i}}\right)\geq e^{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}}$

$\ln {\frac {e^{b_{1}}+e^{b_{2}}+\ldots +e^{b_{n}}}{n}}\geq {\frac {b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}{n}}\Leftrightarrow \ln \left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}e^{b_{i}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}$

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Ссылки

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158.
• Участник:Logic-samara