Неравенство Чебышёва

63 Неравенство Чебышёва (Андрей Михайлович Райгородский) [6:25]

Неравенство Чебышёва — неравенство, гласящее: вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от её математического ожидания превысит некоторое положительное число, не более отношения дисперсии этой случайной величины к квадрату заданного числа.

Названо в честь российского математика П. Л. Чебышева.

Обозначения

X — непрерывная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание случайной величины X;

D(X) — дисперсия случайной величины X;

ε — положительное число большее чем корень из D(X).

Формула неравенства

$P(|X-M(X)|>\varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Следствие

$P(|X-M(X)|>\varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

$P(|X-M(X)|\geqslant \varepsilon )\geqslant 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}$

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.